Ders 3 / 20Orta~40 dk kaldıGlenn F. Knoll (4th ed.)

Sayım İstatistiği ve Hata Öngörüsü

Radyoaktif bozunma temelde rastgele olduğundan, her radyasyon ölçümü kendine özgü bir istatistiksel belirsizlik taşır; bu bölüm bu belirsizliği nasıl niceleyeceğimizi, öngöreceğimizi ve en aza indireceğimizi öğretir. Bölüm, tekrarlı ölçümler kümesini deneysel ortalama, veri dağılım fonksiyonu, artıklar (residual) ve örnek varyansı ile karakterize ederek başlar ve bu deneysel büyüklükleri, altta yatan bir olasılık modelinin parametrelerinden keskin biçimde ayırır. Ardından üç istatistiksel model genellik sırasıyla geliştirilir: binom dağılımı (sabit başarı olasılığıyla sonlu sayıda deneme için kesin), onun Poisson limiti (başarı olasılığı küçükken geçerli, nükleer sayımın doğal modeli) ve Gauss limiti (büyük ortalamalar için geçerli, simetrik çan-eğrisi şekliyle). Uygulamacı için can alıcı sonuç, bir Poisson süreci için varyansın ortalamaya eşit olmasıdır; bu nedenle tek bir N sayımının öngörülen standart sapması yalnızca N'nin kareköküdür. Bölüm bu modelleri iki ayrı yolla uygular: bir veri kümesinin yalnızca istatistiksel dalgalanmayla iç tutarlı olup olmadığını sınamak (ki-kare testi) ve tek bir ölçüme belirsizlik atamak. Sonra hata yayılım formülü türetilir ve toplamlara, farklara, çarpımlara, oranlara, sayım hızlarına ve net (kaynak eksi arka plan) hızlara özelleştirilir. Optimizasyon analizi, sabit bir sayım süresinin numune ile arka plan arasında belirsizliği en aza indirecek şekilde nasıl bölüneceğini gösterir ve bir liyakat ölçütü (figure of merit) tanıtır. Son olarak saptanabilirlik sınırları ele alınır: ROC eğrileri, kritik seviye ve Currie'nin minimum saptanabilir miktarı; ve bölüm rastgele olaylar arasındaki zaman aralıklarının üstel dağılımıyla kapanır. Bu bölüme hakim olmak, herhangi bir nükleer ölçümü dürüst biçimde raporlamanın ön koşuludur.

Verinin Karakterizasyonu

Aynı fiziksel büyüklük N kez bağımsız olarak ölçüldüğünde (örneğin ardışık bir dakikalık sayımlar), kaynak sabit olsa bile sonuçlar saçılım gösterir, çünkü bozunma rastgeledir. Veri, her x değerinin bağıl frekansını veren veri dağılım fonksiyonu F(x) ile ve iki türetilmiş büyüklükle özetlenir. Deneysel ortalama x_e aritmetik ortalamadır, dağılımın etrafında merkezlendiği değerdir. Örnek varyansı s^2 iç saçılımı ölçer: bir noktanın artığı (residual) onun x_e'den sapması olarak tanımlanır (artıkların toplamı sıfırdır) ve s^2 artıkların karelerinin ortalamasıdır; gerçek ortalama yerine x_e kullanıldığı için paydada N-1 ile hesaplanır. Örnek varyansı, dalgalanmanın bağıl değil mutlak bir ölçüsüdür ve kaç veri noktası alındığından bağımsızdır. Bu tamamen deneysel betimleyiciler hiçbir model varsayımı taşımaz; bölüm ilerleyen kısımda bunları bir istatistiksel modelin öngörüleriyle karşılaştırır. Önemli olarak, s^2 gözlenen saçılımın yalnızca istatistiksel dalgalanmayla mı tutarlı olduğunu yoksa ek (cihaz kaynaklı) bir değişkenliğin mi bulunduğunu niceler.

experimental meandata distribution functionresidualdeviationsample varianceinternal scatterN-1 denominator

İstatistiksel Modeller

Radyoaktif bozunma, bir dizi bağımsız Bernoulli denemesi olarak modellenir: sabit bir gözlem aralığında mevcut n çekirdekten her biri ya bozunur (olasılık p) ya da bozunmaz. Kesin sonuç, ortalaması n*p ve varyansı n*p*(1-p) olan binom dağılımıdır: P(x) = [n!/((n-x)! x!)] p^x (1-p)^(n-x). Tipik bir ölçüm sırasında herhangi bir çekirdeğin bozunma şansı çok küçük (p << 1) iken n çok büyük olduğundan, binom dağılımı Poisson dağılımına indirgenir: P(x) = (ortalama^x e^(-ortalama))/x!; bu tek bir parametreye, ortalamaya bağlıdır. Tanımlayıcı özelliği, varyansın ortalamaya eşit olmasıdır, yani sigma = sqrt(ortalama). Ortalama kendisi büyük hale geldiğinde (kabaca > 30), kesikli Poisson, sürekli Gauss (normal) dağılımıyla iyi yaklaşıklanır; bu, yine ortalamasıyla tam belirlenen simetrik bir çan eğrisidir (sayım verisi için varyans yine ortalamaya eşit). Bölüm, hangi modelin ne zaman uygulanacağını açıklar, Gauss eğrisinin +/- k*sigma içindeki alanını tablolaştırır ve üçünün de aynı ortalamayı öngördüğünü vurgular; şekil ve geçerlilik bölgesi bakımından farklılık gösterirler.

binomial distributionBernoulli trialPoisson distributionGaussian (normal) distributionvariance equals meanlimiting casesprobability mass function

İstatistiksel Modellerin Uygulamaları

Bir istatistiksel modelin iki ayrı kullanımı geliştirilir. Uygulama A, tekrarlı ölçümler kümesinin yalnızca istatistiksel dalgalanmayla iç tutarlı olup olmadığını sorar. Model ortalaması deneysel ortalama x_e'ye eşitlenir, sonra örnek varyansı s^2 ile öngörülen varyans (Poisson için x_e'ye eşittir) karşılaştırılır. Daha nicel bir karşılaştırma ki-kare testidir: chi^2 = sum (x_i - x_e)^2 / x_e; tutarlı veri için bu, N-1 serbestlik derecesine yakın olmalıdır; alışılmadık biçimde büyük bir chi^2 fazla (çoğunlukla cihaz kaynaklı) saçılıma işaret eder, alışılmadık biçimde küçük bir chi^2 ise verinin aşırı düzgün olduğunu düşündürür (olası veri uydurması veya kontrollü bir yapay etki). Uygulama B günlük durumdur: tek bir ölçüm yapılmıştır ve belirsizliği belirtilmelidir. Burada tek sayım N, ortalamanın en iyi tahmini olarak alınır, dolayısıyla tahmini standart sapma sqrt(N)'dir. Bölüm, sqrt(N)'nin yalnızca biriktirilmiş sayım sayısına uygulandığını, asla bir hız, ortalanmış bir değer veya bir fark gibi türetilmiş bir büyüklüğe doğrudan uygulanamayacağını vurgular; bunlar hata yayılımı gerektirir.

chi-squared testgoodness of fitdegrees of freedomconsistency checksingle-measurement uncertaintyestimated standard deviation sqrt(N)best estimate of the mean

Hata Yayılımı

Bir sonuç, her biri kendi belirsizliğini taşıyan birkaç bağımsız ölçülmüş sayımdan hesaplandığında, belirsizlikler genel hata yayılım formülü aracılığıyla birleşir: u(x,y,...) büyüklüğünün varyansı, tüm bağımsız değişkenler üzerinden (partial u / partial x)^2 sigma_x^2 terimlerinin toplamıdır. Bunun uygulanması standart özel durumları verir. Bir toplam veya fark u = x +/- y için mutlak varyanslar toplanır: sigma_u^2 = sigma_x^2 + sigma_y^2 (bir fark için x ve y birbirine yakınken bağıl hatanın çok büyüyebileceğine dikkat edin; bu, net-sayım ölçümlerinin belasıdır). Bir çarpım veya bölüm için kesirsel varyanslar toplanır: (sigma_u/u)^2 = (sigma_x/x)^2 + (sigma_y/y)^2. Bir sayımı kesin bir sabitle çarpmak standart sapmasını o sabitle ölçeklendirir; dolayısıyla bir sayım hızı r = N/t için sigma_r = sqrt(N)/t = sqrt(r/t) olur ve bir hızın bağıl hatası altta yatan sayımınkiyle özdeştir. Bu kurallar laboratuvar veri indirgenişinin iş atıdır ve doğrudan saptama-sınırı ve optimizasyon analizlerinde kullanılan net-hız belirsizliğine götürür.

error propagation formulapartial derivativessum and differenceproduct and quotientmultiplication by a constantcounting rate uncertaintynet rate uncertainty

Sayım Deneylerinin Optimizasyonu

Yaygın bir görev, bir arka plan hızı B varlığında net bir kaynak hızı S ölçmektir; burada toplam mevcut süre T, numune-artı-arka plan sayımı (süre T_{S+B}) ile yalnız arka plan sayımı (süre T_B) arasında bölünmelidir. Sabit toplam süre için net hızın varyansını en aza indirmek, optimal süre-bölme kuralını verir: iki sayım süresinin oranı sqrt((S+B)/B)'ye eşittir. Ulaşılabilir kesinlik bir liyakat ölçütüyle (figure of merit) yakalanır; bu, hedef bir kesirsel standart sapma epsilon = sigma_S/S değerine ulaşmak için gereken sürenin tersidir; optimal bölme için 1/T = epsilon^2 S^2 / (sqrt(S+B) + sqrt(B))^2. İki limit uygulamayı aydınlatır. Kaynak baskınsa (S >> B) arka plan ihmal edilebilir ve yalnızca S maksimize edilir. Kaynak zayıfsa (S << B), ki bu düşük-seviyeli sayımda tipiktir, liyakat ölçütü S^2/B ile ölçeklenir; dolayısıyla S'yi bir katsayıyla, B'yi başka bir katsayıyla artıran bir dedektör veya analiz değişikliği yalnızca S^2/B artarsa değerlidir. Bölüm ayrıca gereken sürenin 1/epsilon^2 ile ölçeklendiğini gösterir; yani istatistiksel hatayı yarıya indirmek sürede dört kat maliyet getirir.

net source ratebackground subtractionoptimal time divisionfigure of meritfractional standard deviationS squared over Blow-level counting

Saptanabilirlik Sınırları

Bir sistem ne kadar zayıf bir kaynağı güvenilir biçimde saptayabilir? Bunu iki hata oranı yönetir: gerçek bir kaynağı doğru biçimde işaretleme olasılığı P_D (saptama olasılığı) ve yalnızca arka plan varken kaynak ilan etme olasılığı P_FA (yanlış alarm olasılığı). Bir karar eşiğini (kritik seviye L_C) tarayarak P_D'nin P_FA'ya karşı çizildiği Alıcı İşletim Karakteristiği (ROC) eğrisi elde edilir. Currie'nin yaygın kullanılan minimum saptanabilir miktarı (MDA) P_D = 0.95 ve P_FA = 0.05 değerlerini sabitler. Gauss istatistiği varsayılarak, yalnızca %5'lik bir yanlış-pozitif oranı istemek kritik seviyeyi L_C = 2.33*sigma_{N_B} = 2.33*sqrt(N_B) olarak belirler (net-sayım standart sapması sqrt(2 N_B)'ye uygulanan tek-taraflı 1.645 sigma). Buna ek olarak, kaynak varken yalnızca %5'lik bir yanlış-negatif oranı istemek, minimum saptanabilir net sayımlar için ünlü Currie denklemini verir: N_D = 2.71 + 4.65*sqrt(N_B). N_D'yi sayım süresine, dallanma oranına f ve mutlak verime epsilon bölmek onu bir minimum saptanabilir aktiviteye çevirir. Bölüm, ROC/MDA'nın iyi karakterize edilmiş Gauss arka planları varsaydığını ve bu varsayımlar geçersizken yanıltabileceğini uyarır.

detection probabilityfalse-alarm probabilityROC curvecritical levelCurrie equationminimum detectable amount (MDA)minimum detectable activityfalse negative

Zaman Aralıklarının Dağılımı

Herhangi bir Poisson rastgele süreci için (birim zamanda sabit gerçekleşme olasılığı, geçmiş olayların hafızası yok), ardışık olaylar arasındaki zaman aralıkları basit bir yasaya uyar. Bir t aralığında hiçbir olayın gerçekleşmeme olasılığı P(0) = e^(-r t) ile bir sonraki anda bir olayın gerçekleşme olasılığı r*dt birleştirildiğinde, aralık dağılımı I_1(t) dt = r e^(-r t) dt elde edilir; bu, azalan bir üsteldir. En olası aralığı sıfır, ortalama aralığı ise beklendiği gibi 1/r'dir. İnce ve ünlü bir sonuç bunu izler: bunun yerine saat rastgele bir anda başlatılırsa, bir sonraki olaya kadar geçen süre aynı üstele ve aynı 1/r ortalamasına uyar (ilk-sayıma-kadar-geçen-süre hız-ölçüm yönteminin temeli). Yine de rastgele seçilen bir anın içine düştüğü aralık, ortalamada iki kat daha uzundur, 2/r; çünkü rastgele bir an, kısa bir aralıktan ziyade uzun bir aralığa düşme eğilimindedir. Bu uzunluk-yanlı dağılım I_2(t) = r^2 t e^(-r t), görünürdeki paradoksu çözer ve sayım fiziği içinde inceleme-paradoksu (inspection paradox) akıl yürütmesinin temiz bir örneğidir.

Poisson random processmemoryless propertyexponential interval distributionmean interval 1/rtime-to-next-eventtime-to-first-countlength-biased samplinginspection paradox

Deneysel Ortalama

N tekrarlı ölçümün aritmetik ortalaması, eşdeğer olarak veri dağılım fonksiyonunun birinci momentidir. Gerçek ortalamanın deneysel tahminidir ve verinin etrafında merkezlendiği değerdir.

Temel Denklemler (18)

Bu denklemi çalıştır: Poisson'dan Gauss'a Yakınsama Kaşifi →

Deneysel Ortalama

(3.1)

\bar{x}_e = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i = \sum_x x\,F(x)

sembolanlambirim

\bar{x}_e

deneysel ortalama–

x_i

i-inci ölçülen değer–

N

ölçüm sayısı–

F(x)

veri dağılım fonksiyonu (x'in bağıl frekansı)–

Örnek Varyansı

(3.2)

s^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(x_i - \bar{x}_e\right)^2

Verinin iç saçılımnın mutlak bir ölçüsü: deneysel ortalama etrafındaki artıkların karelerinin ortalaması; ortalamanın aynı veriden tahmin edilmesini düzeltmek için paydada N-1 kullanılır. Tutarlılığı sınamak için model-öngörülü varyansla karşılaştırılır.

sembolanlambirim

s^2

örnek varyansı–

x_i - \bar{x}_e

i-inci noktanın artığı–

N

veri noktası sayısı–

Binom Dağılımı

(3.3)

P(x) = \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\,p^x\,(1-p)^{n-x}

Her biri başarı olasılığı p olan n bağımsız Bernoulli denemesinde tam olarak x başarı gözlemleme olasılığı. Herhangi bir yaklaşımdan önce radyoaktif bozunmanın temel modelidir; ortalaması n*p ve varyansı n*p*(1-p)'dir.

sembolanlambirim

P(x)

tam olarak x başarı olasılığı–

n

deneme (çekirdek) sayısı–

x

başarı sayısı (sayılan bozunma)–

p

deneme başına başarı olasılığı–

Poisson Dağılımı

(3.4)

P(x) = \frac{\bar{x}^{\,x}\,e^{-\bar{x}}}{x!}

p << 1 ve büyük n için binom dağılımının limiti; nükleer sayımın doğal modelidir. Tek parametresi olan ortalamayla tam belirlenir ve varyansının ortalamasına eşit olması gibi tanımlayıcı bir özelliği vardır.

sembolanlambirim

P(x)

x sayım gözlemleme olasılığı–

\bar{x}

ortalama sayım sayısı–

x

gözlenen sayım (tam sayı)–

Poisson Varyansı ve Standart Sapması

(3.5)

\sigma^2 = \bar{x} \quad\Rightarrow\quad \sigma = \sqrt{\bar{x}}

Bölümün merkezi pratik sonucu: bir Poisson süreci için varyans ortalamaya eşittir; dolayısıyla tek bir biriktirilmiş N sayımının (ortalamanın en iyi tahmini olarak alınan) beklenen standart sapması sqrt(N)'dir. Yalnızca sayım sayısına uygulanır, türetilmiş büyüklüklere değil.

sembolanlambirim

\sigma^2

varyans–

\sigma

standart sapma–

\bar{x}

ortalama (tek bir N sayımıyla tahmin edilir)–

Gauss (Normal) Dağılımı

(3.6)

P(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\bar{x}}}\,\exp\!\left[-\frac{(x-\bar{x})^2}{2\bar{x}}\right]

Büyük ortalama (kabaca > 30) için Poisson dağılımının sürekli limiti; burada sayım verisine uygun olarak varyansı ortalamaya eşit yazılmıştır. Simetrik çan şekli, güven aralıklarının ve +/- sigma alan tablolarının temelini oluşturur.

sembolanlambirim

P(x)

x'te olasılık yoğunluğu–

\bar{x}

ortalama (ve varyans)–

x

değer (sürekli kabul edilir)–

Ki-Kare İstatistiği

(3.7)

\chi^2 = \sum_{i=1}^{N}\frac{(x_i - \bar{x}_e)^2}{\bar{x}_e} = \frac{(N-1)\,s^2}{\bar{x}_e}

Tekrarlı sayımlar kümesinin Poisson istatistiğiyle tutarlı olup olmadığını nicel olarak sınar. İç tutarlı veri için chi^2, N-1'e yakındır; çok daha büyük bir değer fazla (cihaz kaynaklı) saçılıma, çok daha küçük bir değer anormal düzgün veriye işaret eder. N-1 serbestlik dereceli bir ki-kare dağılım tablosuyla karşılaştırılır.

sembolanlambirim

\chi^2

ki-kare istatistiği–

x_i

i-inci ölçülen sayım–

\bar{x}_e

deneysel ortalama–

N-1

serbestlik derecesi–

Genel Hata Yayılım Formülü

(3.8)

\sigma_u^2 = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\sigma_x^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\sigma_y^2 + \cdots

Bağımsız ölçülmüş değişkenlerden hesaplanan türetilmiş bir u(x,y,...) büyüklüğünün varyansını verir; her değişkenin kendi varyansı vardır. Tüm özel birleştirme kurallarının (toplam, çarpım, hız) türediği ana formüldür; değişkenler ilişkisizken geçerlidir.

sembolanlambirim

\sigma_u

sonucun standart sapması–

\partial u/\partial x

u'nun x'e göre kısmi türevi–

\sigma_x

x değişkeninin standart sapması–

Toplam veya Farkın Hatası

(3.9)

u = x \pm y \quad\Rightarrow\quad \sigma_u = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}

Toplamsal bir birleşim için mutlak varyanslar işaretten bağımsız olarak toplanır. Bir fark için bu, mutlak hatanın bir toplamınkiyle aynı olduğu anlamına gelir; ancak x ve y neredeyse eşitken kesirsel hata patlayabilir, ki bu tam olarak net (kaynak eksi arka plan) sayımdaki durumdur.

sembolanlambirim

u

toplam veya fark–

\sigma_x

x'in standart sapması–

\sigma_y

y'nin standart sapması–

Çarpım veya Bölümün Hatası

(3.10)

u = x\,y \ \text{or}\ \frac{x}{y} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{\sigma_u}{u}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2

Çarpımsal bir birleşim için kesirsel (bağıl) varyanslar toplanır. Bu kural verim düzeltmelerini, aktivite oranlarını ve ölçülen sayımların çarpılması veya bölünmesiyle oluşan herhangi bir büyüklüğü yönetir.

sembolanlambirim

\sigma_u/u

sonucun kesirsel hatası–

\sigma_x/x

x'in kesirsel hatası–

\sigma_y/y

y'nin kesirsel hatası–

Sayım Hızındaki Belirsizlik

(3.11)

r = \frac{N}{t} \quad\Rightarrow\quad \sigma_r = \frac{\sqrt{N}}{t} = \sqrt{\frac{r}{t}}

Bir hız, bir sayımın kesin bilinen bir süreye bölünmesidir; dolayısıyla standart sapması sqrt(N)/t'dir. Bir hızın kesirsel hatası sayımınkine, 1/sqrt(N)'ye eşittir; kesinliği yalnızca biriktirilmiş sayım sayısı iyileştirir, geçen süre değil.

sembolanlambirim

r

sayım hızıs^-1

N

biriktirilmiş sayım sayısı–

t

sayım süresi (kesin)s

Net (Kaynak) Hızdaki Belirsizlik

(3.12)

S = \frac{N_{S+B}}{T_{S+B}} - \frac{N_B}{T_B},\qquad \sigma_S = \sqrt{\frac{N_{S+B}}{T_{S+B}^2} + \frac{N_B}{T_B^2}}

Arka plan-düzeltmeli net kaynak hızının standart sapmasını vermek için hız-hatası ve fark kurallarını birleştirir. Bu, kesinliği sayım süresinin bölünmesi üzerinden optimize edilen ve saptama sınırlarını belirleyen büyüklüktür.

sembolanlambirim

S

net kaynak hızıs^-1

N_{S+B}

brüt sayımlar (numune artı arka plan)–

N_B

arka plan sayımları–

T_{S+B},\,T_B

brüt ve arka plan için sayım süreleris

Sayım Süresinin Optimal Bölünmesi

(3.13)

\left(\frac{T_{S+B}}{T_B}\right)_{\mathrm{opt}} = \sqrt{\frac{S+B}{B}}

Sabit bir toplam sayım süresi için bu oran, net kaynak hızının varyansını en aza indirir. Kaynak zayıfken süreler eşit dağılıma yaklaşır; kaynak güçlüyken brüt ölçüme daha fazla süre ayrılır.

sembolanlambirim

T_{S+B}

brüt (numune+arka plan) süresis

T_B

yalnız arka plan süresis

S

net kaynak hızıs^-1

B

arka plan hızıs^-1

Sayım için Liyakat Ölçütü

(3.14)

\frac{1}{T} = \frac{\epsilon^2\,S^2}{\left(\sqrt{S+B} + \sqrt{B}\right)^2}

Süre optimal bölündüğünde, hedef bir kesirsel standart sapma epsilon değerine ulaşmak için gereken toplam sürenin tersi. 1/T'yi maksimize etmek (gereken süreyi en aza indirmek) dedektör ve kabul-penceresi tasarımını yönlendirir. S >> B için ~epsilon^2 S'ye, S << B için ~epsilon^2 S^2/(4B)'ye indirgenir.

sembolanlambirim

T

toplam sayım süresis

\epsilon

S'nin hedef kesirsel std. sapması (sigma_S/S)–

S

net kaynak hızıs^-1

B

arka plan hızıs^-1

Kritik Seviye (Karar Eşiği)

(3.15)

L_C = 1.645\,\sigma_{N_S} = 1.645\sqrt{2N_B} = 2.33\sqrt{N_B}

Bir ölçümün saptama olarak ilan edildiği net-sayım eşiği; eşit numune ve arka plan süreleriyle Gauss varsayımı altında yanlış-pozitif (yanlış-alarm) olasılığını %5 yapacak şekilde belirlenir. Net-sayım standart sapması sqrt(2 N_B)'ye uygulanan tek-taraflı 1.645 sigma noktası.

sembolanlambirim

L_C

kritik seviye (net sayım)–

\sigma_{N_S}

kaynak yokken net sayımların std. sapması–

N_B

arka plan sayımları–

Currie Denklemi (Minimum Saptanabilir Net Sayım)

(3.16)

N_D = 2.71 + 4.65\sqrt{N_B}

Yanlış-alarm olasılığı %5'te (P_FA=0.05) tutulurken bir kaynağın %95 olasılıkla saptanabilmesi (P_D=0.95) için üretmesi gereken minimum ortalama net sayım sayısı. Sayım süresi, dallanma oranı f ve mutlak verim epsilon ile birleşince minimum saptanabilir aktiviteyi verir: a = N_D/(f*epsilon*T).

sembolanlambirim

N_D

minimum saptanabilir net sayım–

N_B

arka plan sayımları–

Olaylar Arası Aralıkların Dağılımı

(3.17)

I_1(t)\,dt = r\,e^{-r t}\,dt,\qquad \bar{t} = \frac{1}{r}

Bir Poisson sürecinde ardışık olaylar arasındaki t süresinin olasılık yoğunluğu; P(0)=e^(-r t) (t süresince olay yok) ile r*dt (sonraki anda bir olay) çarpılarak elde edilir. En olası aralık sıfır, ortalama aralık 1/r'dir.

sembolanlambirim

I_1(t)

aralık olasılık yoğunluğus^-1

r

ortalama olay hızıs^-1

t

olaylar arası zaman aralığıs

Uzunluk-Yanlı (Seçilen) Aralık Dağılımı

(3.18)

I_2(t) = r\,t\,I_1(t) = r^2 t\,e^{-r t},\qquad \bar{t}_s = \frac{2}{r}

Rastgele seçilen bir anın içine düştüğü aralığın dağılımı. Rastgele bir zaman uzun bir aralığa düşme olasılığı daha yüksek olduğundan, aralıklar uzunlukları r*t ile ağırlıklandırılır; bu da olağan ortalamanın iki katı olan 2/r ortalamasını verir. Zaman-aralığı inceleme paradoksunu çözer.

sembolanlambirim

I_2(t)

uzunluk-yanlı aralık yoğunluğus^-1

r

ortalama olay hızıs^-1

\bar{t}_s

ortalama seçilen aralıks

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Poisson'dan Gauss'a Yakınsama Kaşifi

Öğrenci bir ortalama sayım hızı ve bir sayım süresi belirler, sonra benzetilmiş tekrarlı ölçümlerin histogramını gerçek zamanlı oluşurken izler. Üstüne kesin Poisson PMF ve Gauss yaklaşımı bindirilir. Ortalama ~30'u geçtikçe Poisson'un çarpıklığı kaybolur ve iki eğri birleşir; canlı okuma deneysel ortalama, örnek varyansı ve sqrt(ortalama) gösterir ve varyans = ortalama eşitliğini sergiler.

GİRDİLER

Mean count (slider, 0.5-200 counts) · Number of trials N (slider, 50-100000) · Model overlay toggle (Poisson / Gaussian / both) · Histogram bin width (1-10 counts)

ÇIKTILAR

Live histogram of simulated counts with overlaid PMF/PDF · Readout: experimental mean, sample variance, sqrt(mean), chi^2 vs Poisson · Convergence plot: |sample variance - mean| vs N

YÖNTEMGenerate Poisson deviates with Knuth's multiplication algorithm for small mean and the transformed-rejection (PTRS) method for large mean; accumulate into a histogram and compute running mean and variance with Welford's algorithm.

KOD KANCASIÖğrenci Poisson örneklemeyi (fn sample_poisson(mean, rng) -> u32) Rust/WASM'da uygular; ekrandaki histogram ve tüm istatistikler onların fonksiyonuyla sürülür, dolayısıyla doğru bir uygulama histogramı analitik eğriye yakınsatırken hatalı biri onu gözle görülür şekilde bozar.

Konsola Gir: counting-statistics →

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Saptama Sınırı, Kritik Seviye ve ROC Eğrisi

Öğrenci bir arka plan hızı, bir kaynak hızı ve bir sayım süresi belirler; araç iki örtüşen Gauss net-sayım dağılımını (yalnız arka plan ve kaynak-mevcut) çizer. Sürükle-bırak bir kritik seviye L_C canlı kayar; gölgelendirilmiş yanlış-alarm ve yanlış-negatif alanlarını, P_D/P_FA okumalarını ve üretilen ROC eğrisi boyunca izleyen bir noktayı günceller. Bir düğme L_C'yi Currie 2.33*sqrt(N_B) değerine oturtur ve minimum saptanabilir aktiviteyi raporlar.

GİRDİLER

Background rate B (slider, 0.1-1000 cps) · True source rate S (slider, 0-200 cps) · Counting time T (slider, 1-3600 s) · Critical level L_C (draggable on the plot) · Branching ratio f and efficiency epsilon (numeric, 0-1)

ÇIKTILAR

Two overlaid net-count Gaussians with shaded P_FA and false-negative regions · Live ROC curve (P_D vs P_FA) with current operating point · Readout: L_C, P_D, P_FA, N_D (Currie), minimum detectable activity

YÖNTEMEvaluate Gaussian CDFs via an erf approximation (Abramowitz-Stegun 7.1.26) to compute tail areas; generate the ROC by sweeping L_C across the range; solve the Currie equation in closed form for N_D and convert to activity.

KOD KANCASIÖğrenci karar fonksiyonunu fn classify(net_counts, l_c) -> bool ve kuyruk-olasılığı fonksiyonunu fn gauss_tail(x, mean, sigma) -> f64 yazar; gölgelendirilmiş alanlar, ROC noktası ve MDA okuması onların kodundan yeniden hesaplanır, dolayısıyla ürettikleri ROC eğrisi tam anlamıyla dedektör mantıklarının çıktısıdır.

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Zaman-Aralığı Dağılımı ve İnceleme Paradoksu

Seçilen bir hızda bir Poisson tıklamaları akışı üretilir ve canlı bir olay rasteri olarak gösterilir. Olaylar-arası aralıkların histogramı üstel r*e^(-r t)'ye uyacak şekilde dolar. Ardından öğrenci akışın üzerine rastgele örneklem anları bırakır; bu anların içine düştüğü aralıkların histogramı uzunluk-yanlı r^2*t*e^(-r t)'ye yükselir; yan yana bir okuma ölçülen ortalamaların 1/r ve 2/r'ye yakınsadığını gösterir ve inceleme paradoksunu sergiler.

GİRDİLER

Event rate r (slider, 0.1-100 events/s) · Number of simulated events (slider, 1000-1000000) · Number of random sampling instants (slider, 100-100000) · Animation speed of the live raster

ÇIKTILAR

Live event raster (time line of clicks) · Two histograms: inter-event intervals vs length-biased selected intervals · Readout: measured mean interval (->1/r) and mean selected interval (->2/r)

YÖNTEMGenerate inter-event times as exponential deviates via inverse-CDF sampling (t = -ln(U)/r); accumulate cumulative event times; for each random instant locate the containing interval by binary search and tally its length.

KOD KANCASIÖğrenci fn next_interval(rate, rng) -> f64 (üstel örnekleyici) ve fn select_interval(event_times, t_random) -> f64 fonksiyonlarını uygular; her iki histogram da onların fonksiyonlarıyla üretilir, dolayısıyla iki ortalama arasındaki iki-kat fark yalnızca uzunluk-yanlılaştırma mantıkları doğru olduğunda ortaya çıkar.

Sayısal veriler

Poisson -> Gaussian thresholdmean > ~30Bu ortalamanın üzerinde Gauss, Poisson'a mükemmel bir yaklaşımdır; altında kesikli Poisson kullanılmalıdır.

Gaussian area within +/- 1 sigma0.683Ölçümlerin %68.3'ü ortalamanın bir standart sapması içinde kalır.

Gaussian area within +/- 1.645 sigma0.90İki-taraflı %90; tek-taraflı, kritik seviyeyi belirlemekte kullanılan %5'lik kuyruğu verir.

Gaussian area within +/- 1.96 sigma0.95Bilinen iki-taraflı %95 güven aralığı.

Gaussian area within +/- 2.58 sigma0.99İki-taraflı %99 güven aralığı.

Critical level coefficient2.33Eşit numune/arka plan süreleriyle %5 yanlış-pozitif oranı için L_C = 2.33*sqrt(N_B).

Currie MDA constants2.71 and 4.65N_D = 2.71 + 4.65*sqrt(N_B); 2.71 küçük-arka plan ofseti, 4.65 baskın terimdir.

Currie definition probabilitiesP_D = 0.95, P_FA = 0.05Minimum saptanabilir miktarı tanımlayan keyfi ama standart seçimler.

Mean random interval / mean selected interval(1/r) vs (2/r)Rastgele seçilen bir an, tipik aralığın ortalama iki katı uzunlukta bir aralığa düşer.

Time-cost scaling of precisionT proportional to 1/epsilon^2Kesirsel istatistiksel hatayı yarıya indirmek kabaca dört kat sayım süresi gerektirir.

YAZILIM NOTU

Bu bölüm, her nükleer ölçüm kodunun istatistiksel omurgasıdır. Öğrenciler psödo-rastgele nükleer veriyi üretmeyi ve doğrulamayı öğrenir: düzgün PRNG'ler (xorshift, PCG), ters-CDF ve reddetme (rejection) örnekleme ve özel Poisson üreticileri (küçük ortalamalar için Knuth çarpımı, büyük ortalamalar için dönüştürülmüş-reddetme PTRS). Felaket getiren naif kareler-toplamı yerine sayısal olarak kararlı toplayıcılar (Welford'un çevrimiçi ortalama/varyansı) uygularlar ve ki-kare uyum-iyiliği istatistiğini serbestlik-derecesi yorumuyla kodlarlar. Hata yayılımı hem analitik (kısmi-türev formülü) hem de Monte Carlo ile uygulanır; öğrenciler ikisinin uyuştuğunu görür. Saptama sınırları için erf yaklaşımları aracılığıyla Gauss kuyruk integrallerini kodlar, ROC eğrileri oluşturmak için kritik seviyeleri tarar ve minimum saptanabilir aktivite için Currie denklemini çözerler; bu, sağlık-fiziği ve iç-güvenlik cihazlarının içinde çalışan tam mantıktır. Bu fikirler üretim araçlarına doğrudan eşleşir: Monte Carlo transport kodları MCNP, Geant4, OpenMC ve Serpent sonuçları ortalamalar ve istatistiksel belirsizliklerle raporlar ve doğrudan bu bölümden alınan varyans-azaltma ve liyakat-ölçütü (FOM = 1/(sigma^2 * T)) optimizasyonunu uygular; gama-spektroskopi paketleri (Genie 2000, InterSpec) Currie MDA'yı ve pik-belirsizliği yayılımını uygular. Bu ilkel yapıları TypeScript arayüzlü Rust/WASM'da inşa ederek öğrenciler, tüm alanın altında yatan istatistik katmanının çalışan, incelenebilir bir sürümünü kazanır.

ALGORİTMALAR

Knuth Poisson sampler (small mean)Transformed-rejection PTRS Poisson sampler (large mean)Inverse-CDF exponential samplingWelford online mean/varianceChi-squared goodness-of-fit testMonte Carlo error propagationerf/Gaussian-tail numerical integrationROC sweep and Currie MDA solver

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

Pratiğe dökün

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Radyasyon Etkileşimleri

Radyasyon Dedektörlerinin Genel Özellikleri

Ders 3 / 20Orta~40 dk kaldıGlenn F. Knoll (4th ed.)

Sayım İstatistiği ve Hata Öngörüsü

Verinin Karakterizasyonu

experimental meandata distribution functionresidualdeviationsample varianceinternal scatterN-1 denominator

İstatistiksel Modeller

binomial distributionBernoulli trialPoisson distributionGaussian (normal) distributionvariance equals meanlimiting casesprobability mass function

İstatistiksel Modellerin Uygulamaları

chi-squared testgoodness of fitdegrees of freedomconsistency checksingle-measurement uncertaintyestimated standard deviation sqrt(N)best estimate of the mean

Hata Yayılımı

error propagation formulapartial derivativessum and differenceproduct and quotientmultiplication by a constantcounting rate uncertaintynet rate uncertainty

Sayım Deneylerinin Optimizasyonu

net source ratebackground subtractionoptimal time divisionfigure of meritfractional standard deviationS squared over Blow-level counting

Saptanabilirlik Sınırları

detection probabilityfalse-alarm probabilityROC curvecritical levelCurrie equationminimum detectable amount (MDA)minimum detectable activityfalse negative

Zaman Aralıklarının Dağılımı

Poisson random processmemoryless propertyexponential interval distributionmean interval 1/rtime-to-next-eventtime-to-first-countlength-biased samplinginspection paradox

Deneysel Ortalama

Temel Denklemler (18)

Bu denklemi çalıştır: Poisson'dan Gauss'a Yakınsama Kaşifi →

Deneysel Ortalama

(3.1)

\bar{x}_e = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i = \sum_x x\,F(x)

sembolanlambirim

\bar{x}_e

deneysel ortalama–

x_i

i-inci ölçülen değer–

N

ölçüm sayısı–

F(x)

veri dağılım fonksiyonu (x'in bağıl frekansı)–

Örnek Varyansı

(3.2)

s^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(x_i - \bar{x}_e\right)^2

sembolanlambirim

s^2

örnek varyansı–

x_i - \bar{x}_e

i-inci noktanın artığı–

N

veri noktası sayısı–

Binom Dağılımı

(3.3)

P(x) = \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\,p^x\,(1-p)^{n-x}

sembolanlambirim

P(x)

tam olarak x başarı olasılığı–

n

deneme (çekirdek) sayısı–

x

başarı sayısı (sayılan bozunma)–

p

deneme başına başarı olasılığı–

Poisson Dağılımı

(3.4)

P(x) = \frac{\bar{x}^{\,x}\,e^{-\bar{x}}}{x!}

sembolanlambirim

P(x)

x sayım gözlemleme olasılığı–

\bar{x}

ortalama sayım sayısı–

x

gözlenen sayım (tam sayı)–

Poisson Varyansı ve Standart Sapması

(3.5)

\sigma^2 = \bar{x} \quad\Rightarrow\quad \sigma = \sqrt{\bar{x}}

sembolanlambirim

\sigma^2

varyans–

\sigma

standart sapma–

\bar{x}

ortalama (tek bir N sayımıyla tahmin edilir)–

Gauss (Normal) Dağılımı

(3.6)

P(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\bar{x}}}\,\exp\!\left[-\frac{(x-\bar{x})^2}{2\bar{x}}\right]

sembolanlambirim

P(x)

x'te olasılık yoğunluğu–

\bar{x}

ortalama (ve varyans)–

x

değer (sürekli kabul edilir)–

Ki-Kare İstatistiği

(3.7)

\chi^2 = \sum_{i=1}^{N}\frac{(x_i - \bar{x}_e)^2}{\bar{x}_e} = \frac{(N-1)\,s^2}{\bar{x}_e}

sembolanlambirim

\chi^2

ki-kare istatistiği–

x_i

i-inci ölçülen sayım–

\bar{x}_e

deneysel ortalama–

N-1

serbestlik derecesi–

Genel Hata Yayılım Formülü

(3.8)

\sigma_u^2 = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\sigma_x^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\sigma_y^2 + \cdots

sembolanlambirim

\sigma_u

sonucun standart sapması–

\partial u/\partial x

u'nun x'e göre kısmi türevi–

\sigma_x

x değişkeninin standart sapması–

Toplam veya Farkın Hatası

(3.9)

u = x \pm y \quad\Rightarrow\quad \sigma_u = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}

sembolanlambirim

u

toplam veya fark–

\sigma_x

x'in standart sapması–

\sigma_y

y'nin standart sapması–

Çarpım veya Bölümün Hatası

(3.10)

u = x\,y \ \text{or}\ \frac{x}{y} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{\sigma_u}{u}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2

sembolanlambirim

\sigma_u/u

sonucun kesirsel hatası–

\sigma_x/x

x'in kesirsel hatası–

\sigma_y/y

y'nin kesirsel hatası–

Sayım Hızındaki Belirsizlik

(3.11)

r = \frac{N}{t} \quad\Rightarrow\quad \sigma_r = \frac{\sqrt{N}}{t} = \sqrt{\frac{r}{t}}

sembolanlambirim

r

sayım hızıs^-1

N

biriktirilmiş sayım sayısı–

t

sayım süresi (kesin)s

Net (Kaynak) Hızdaki Belirsizlik

(3.12)

S = \frac{N_{S+B}}{T_{S+B}} - \frac{N_B}{T_B},\qquad \sigma_S = \sqrt{\frac{N_{S+B}}{T_{S+B}^2} + \frac{N_B}{T_B^2}}

sembolanlambirim

S

net kaynak hızıs^-1

N_{S+B}

brüt sayımlar (numune artı arka plan)–

N_B

arka plan sayımları–

T_{S+B},\,T_B

brüt ve arka plan için sayım süreleris

Sayım Süresinin Optimal Bölünmesi

(3.13)

\left(\frac{T_{S+B}}{T_B}\right)_{\mathrm{opt}} = \sqrt{\frac{S+B}{B}}

sembolanlambirim

T_{S+B}

brüt (numune+arka plan) süresis

T_B

yalnız arka plan süresis

S

net kaynak hızıs^-1

B

arka plan hızıs^-1

Sayım için Liyakat Ölçütü

(3.14)

\frac{1}{T} = \frac{\epsilon^2\,S^2}{\left(\sqrt{S+B} + \sqrt{B}\right)^2}

sembolanlambirim

T

toplam sayım süresis

\epsilon

S'nin hedef kesirsel std. sapması (sigma_S/S)–

S

net kaynak hızıs^-1

B

arka plan hızıs^-1

Kritik Seviye (Karar Eşiği)

(3.15)

L_C = 1.645\,\sigma_{N_S} = 1.645\sqrt{2N_B} = 2.33\sqrt{N_B}

sembolanlambirim

L_C

kritik seviye (net sayım)–

\sigma_{N_S}

kaynak yokken net sayımların std. sapması–

N_B

arka plan sayımları–

Currie Denklemi (Minimum Saptanabilir Net Sayım)

(3.16)

N_D = 2.71 + 4.65\sqrt{N_B}

sembolanlambirim

N_D

minimum saptanabilir net sayım–

N_B

arka plan sayımları–

Olaylar Arası Aralıkların Dağılımı

(3.17)

I_1(t)\,dt = r\,e^{-r t}\,dt,\qquad \bar{t} = \frac{1}{r}

sembolanlambirim

I_1(t)

aralık olasılık yoğunluğus^-1

r

ortalama olay hızıs^-1

t

olaylar arası zaman aralığıs

Uzunluk-Yanlı (Seçilen) Aralık Dağılımı

(3.18)

I_2(t) = r\,t\,I_1(t) = r^2 t\,e^{-r t},\qquad \bar{t}_s = \frac{2}{r}

sembolanlambirim

I_2(t)

uzunluk-yanlı aralık yoğunluğus^-1

r

ortalama olay hızıs^-1

\bar{t}_s