Ders 4 / 15İleri~40 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Nötron Taşınımı

Bu bölüm, nötronların bir reaktör çekirdeği içinde nasıl hareket ettiğini ve etkileştiğini tanımlayan temel kinetik betimlemeyi geliştirir. Bir nötron popülasyonunu karakterize eden faz-uzayı niceliklerini tanımlayarak başlar: açısal nötron yoğunluğu n(r,E,Ω,t), açısal akı φ=vn, açısal akım yoğunluğu, skaler (açı üzerinden integrali alınmış) akı ve net ile kısmi akım yoğunlukları. Keyfi bir hacim üzerinde basit bir 'nötron-sayma' dengesi kullanılarak—akış (streaming), çarpışmalar, içeri-saçılma, fisyon ve dış kaynaklar hesaba katılarak—yedi bağımsız değişkenli tam bir integro-diferansiyel denklem olan nötron taşınım (Boltzmann) denklemi, başlangıç ve vakum sınır koşullarıyla birlikte türetilir. Bu denklem gerçekçi reaktörler için analitik olarak çözülemediğinden, bölüm hesaplamalı reaktör fiziğinin merkezî stratejisini ele alır: her bağımsız değişkenin ayrıklaştırılması. Açısal ayrıklaştırma ayrık-ordinatlar (S_N) ve küresel-harmonikler (P_N) denklemlerini; enerji ayrıklaştırması çok-gruplu formalizmi; uzay ve zaman ise sonlu farklar yöntemini verir. Bölüm, lineer anizotropik akı, izotropik kaynaklar ve yavaş değişen akım varsayımlarıyla P_1 denklemlerinden elde edilen difüzyon yaklaşımıyla doruğa ulaşır. Bu, taşınımı Fick yasasına, J=-D∇φ, ve tek-hızlı nötron difüzyon denklemine indirger; difüzyon katsayısını, taşınım ortalama serbest yolunu, taşınım tesir kesitini ve ekstrapole edilmiş (vakum) sınır koşulunu z₀=0.7104λ_tr tanıtır. Bölüm önemlidir çünkü pratik reaktör tasarımının iş atı olan difüzyon teorisinin, tam taşınımın kontrollü bir yaklaşımı olduğunu titizlikle gösterir ve hangi durumlarda (sınırlar yakınında, güçlü soğurucularda ve yerel kaynaklarda) başarılı ya da başarısız olduğunu netleştirir.

Giriş Kavramları

Bir nötron popülasyonunun faz-uzayı betimlemesini kurar. Merkezî bilinmeyen, r konumunda dE içindeki E enerjisine sahip ve dΩ içindeki Ω yönünde hareket eden birim hacim başına beklenen nötron sayısı olan açısal nötron yoğunluğu n(r,E,Ω,t)'dir. Bundan açısal akı φ=vn, açısal akım yoğunluğu j=Ωvn ve—tüm yönler üzerinden integral alınarak—skaler akı φ(r,E,t)=∫n φ dΩ ile net akım yoğunluğu J=∫Ω φ dΩ türer. Bölüm, akıyı (skaler bir reaksiyon-hız yoğunluğu) akımdan (vektörel net-akış hızı) ayırır ve bir yüzeyi +n ile -n yönlerinde geçen nötronları sayan kısmi akımlar J₊ ve J₋'yi tanıtır; net akım J=J₊-J₋'dir. Açısal yoğunluğun sınırlar, kaynaklar ve soğurucular yakınında—tam da basit teorilerin çöktüğü yerlerde—anizotropik hâle geldiğini vurgular ve böylece izleyen tam taşınım ele alışını motive eder.

angular neutron densityangular fluxangular current densityscalar fluxnet current densitypartial currentsphase spaceisotropy and anisotropy

Nötron Taşınım Denklemi

Nötron taşınım (lineerleştirilmiş Boltzmann) denklemini, keyfi sabit bir V hacmi üzerinde nötron dengesi yazarak türetir. Kazançlar dış/fisyon kaynaklarından, diğer (E',Ω')'den (E,Ω)'ya içeri-saçılmadan ve içeri akıştan; kayıplar toplam çarpışmalardan (vΣ_t φ) ve net sızıntıdan gelir; ikincisi Gauss teoremiyle bir diverjans terimi Ω·∇φ'ye dönüştürülür. V keyfi olduğundan integrand sıfır olmalıdır ve bu, tam integro-diferansiyel denklemi (1/v)∂φ/∂t + Ω·∇φ + Σ_t φ = ∫∫ Σ_s(E'→E,Ω'·Ω) φ' dE'dΩ' + s verir. Zincirleme tepkime sistemleri için x(E)/4π ∫νΣ_f φ' dE' fisyon kaynağı eklenir. Bölüm başlangıç koşulunu ve yeniden-girmeyen vakum sınır koşulunu (Ω·n<0 için φ=0), μ=cosθ ile tek boyutlu düzlem-simetri formunu sunar; denklemin yedi bağımsız değişkenini ve lineerliğini vurgular—genel analitik çözümün neden olmadığının ve hesaplamanın neden zorunlu olduğunun nedeni budur.

Boltzmann equationneutron balancestreaming termin-scatteringfission sourcefission spectrumvacuum boundary conditionintegro-differential equationGauss's theorem

Taşınım Denkleminin Doğrudan Sayısal Çözümü

Taşınım denkleminin, her bağımsız değişken ayrıklaştırılarak nasıl sonlu bir cebirsel denklem sistemine dönüştürüldüğünü ele alır. Açısal ayrıklaştırmanın iki ana yolu vardır: Ω'yi kuadratür ağırlıklı N yönlük sonlu bir kümeyle temsil eden ve böylece açısal integralleri ağırlıklı toplamlara çeviren ayrık-ordinatlar (S_N) yöntemi; ve açısal akıyı Y_lm (1-B'de Legendre polinomları P_l(μ)) cinsinden açan ve eşlenik moment denklemlerini elde etmek için izdüşüren küresel-harmonikler (P_N) yöntemi. İki terimden sonra kesme, difüzyon teorisine köprü olan P_1 yaklaşımını verir. Enerji, çok-gruplu yöntemle ele alınır—enerji aralığı G gruba bölünür ve akı-ağırlıklı grup tesir kesitlerini tanımlamak için integral alınır—çünkü tesir kesitlerinin güçlü, düzensiz enerji bağımlılığı fonksiyonel açılımları işe yaramaz kılar. Uzay ve zaman bir ağ üzerinde sonlu farklarla ayrıklaştırılır. Bunlar birlikte, reaktör kodlarının çözdüğü çok-gruplu S_N veya P_N denklemlerini verir.

discrete ordinates S_Nquadrature weightsspherical harmonicsP_N approximationP_1 approximationLegendre polynomialsmultigroup methodgroup cross sectionsfinite differencesdiscretization

Difüzyon Yaklaşımı

Taşınımı difüzyon teorisine indirger. Taşınım denkleminin açı üzerinden integrali, ∂n/∂t, sızıntı ∇·J, uzaklaştırma ve kaynağı ilişkilendiren nötron süreklilik denklemini verir; Ω ile çarpıp integral almak J için ikinci bir (P_1) denklem verir. Lineer anizotropik açısal akı, izotropik kaynaklar ve çarpışma frekansına kıyasla yavaş değişen bir akım (v⁻¹∂J/∂t ihmal edilerek) varsayımları Fick yasasını J=-D∇φ verir; difüzyon katsayısı D=1/(3Σ_tr) ve taşınım tesir kesiti Σ_tr=Σ_t-μ̄₀Σ_s. Fick yasasının süreklilik denklemine yerleştirilmesi, pratik reaktör analizinin temeli olan tek-hızlı nötron difüzyon denklemini (1/v)∂φ/∂t-∇·D∇φ+Σ_aφ=S üretir. Bölüm, taşınım ortalama serbest yolu λ_tr=1/Σ_tr'yi tanımlar, difüzyon sınır koşullarını (arayüzlerde akı/akım sürekliliği; Marshak-tipi vakum koşulu) ve lineer ekstrapole edilen akının fiziksel yüzeyin z₀=0.7104λ_tr ötesinde sıfırlandığı ekstrapole edilmiş sınırı türetir. Difüzyonun arkasındaki dört varsayımı ve bunların ne zaman bozulduğunu dikkatle listeler.

neutron continuity equationP_1 equationsFick's lawdiffusion coefficienttransport cross sectiontransport mean free pathone-speed diffusion equationextrapolation lengthMarshak boundary conditioninterface conditions

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (18)

Bu denklemi çalıştır: Ayrık-Ordinatlar (S_N) Levha Taşınım Çözücüsü →

Açısal Akı

(4.1)

\varphi(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t) = v\, n(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t)

Açısal akıyı, nötron hızının açısal yoğunlukla çarpımı olarak tanımlar. Fiziksel anlamı, (E,Ω)'lu nötronların birim hacim başına birim zamanda süpürdüğü iz uzunluğudur; reaksiyon hızları makroskopik tesir kesitleriyle çarpılarak elde edilir.

sembolanlambirim

\varphi

açısal akıcm^{-2} s^{-1} sr^{-1}

v

nötron hızıcm/s

n

açısal nötron yoğunluğucm^{-3} sr^{-1}

\boldsymbol{\Omega}

birim yön vektörü–

Skaler (Açı-İntegralli) Akı

(4.2)

\phi(\mathbf{r},E,t) = \int_{4\pi} \varphi(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t)\, d\Omega

Açısal akıyı tüm yönler üzerinden integre ederek, reaksiyon hızlarını R=Σ_x φ hesaplamak için kullanılan skaler akıyı verir. Yönsel bilgiyi atar ancak difüzyon teorisinin merkezî bilinmeyenidir.

sembolanlambirim

\phi

skaler akıcm^{-2} s^{-1}

\varphi

açısal akıcm^{-2} s^{-1} sr^{-1}

d\Omega

diferansiyel katı açısr

Net Akım Yoğunluğu

(4.3)

\mathbf{J}(\mathbf{r},E,t) = \int_{4\pi} \boldsymbol{\Omega}\, \varphi(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t)\, d\Omega

Açısal akının birinci açısal momentidir; birim alan başına net vektörel nötron akış hızını verir. Süreklilik denklemine diverjansı (sızıntı) yoluyla girer ve Fick yasasının yaklaşıkladığı niceliktir.

sembolanlambirim

\mathbf{J}

net akım yoğunluğucm^{-2} s^{-1}

\boldsymbol{\Omega}

birim yön vektörü–

\varphi

açısal akıcm^{-2} s^{-1} sr^{-1}

Kısmi Akımlar

(4.4)

J_{\pm} = \int_{\boldsymbol{\Omega}\cdot\hat{\mathbf{n}}\gtrless 0} |\boldsymbol{\Omega}\cdot\hat{\mathbf{n}}|\, \varphi\, d\Omega, \qquad \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}} = J_+ - J_-

Kısmi akımlar, bir yüzeyi dışa (+) veya içe (-) yönde geçen nötronları ayrı ayrı sayar; farkları net akımın normal bileşenidir. Vakum sınır koşullarını (serbest yüzeyde J₋=0) ifade etmek için gereklidir.

sembolanlambirim

J_{\pm}

dışa/içe kısmi akımcm^{-2} s^{-1}

\hat{\mathbf{n}}

dışa doğru birim yüzey normali–

Nötron Taşınım Denklemi

(4.5)

\frac{1}{v}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \boldsymbol{\Omega}\cdot\nabla\varphi + \Sigma_t\,\varphi = \int_{4\pi} d\Omega' \int_0^{\infty} dE'\, \Sigma_s(E'\!\to\!E,\,\boldsymbol{\Omega}'\!\to\!\boldsymbol{\Omega})\,\varphi(\mathbf{r},E',\boldsymbol{\Omega}',t) + s(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t)

Faz uzayında nötronların tam integro-diferansiyel dengesi: zaman değişimi + akış + toplam çarpışma kaybı = içeri-saçılma kazancı + kaynak. Reaktör fiziğinin ana denklemidir; tüm indirgenmiş modeller (P_N, S_N, difüzyon) ona yaklaşımlardır.

sembolanlambirim

\Sigma_t

makroskopik toplam tesir kesiticm^{-1}

\Sigma_s(E'\to E,\boldsymbol{\Omega}'\to\boldsymbol{\Omega})

çift-diferansiyel saçılma tesir kesiticm^{-1} sr^{-1}

s

dış/bağımsız açısal kaynakcm^{-3} s^{-1} sr^{-1}

Vakum Sınır Koşulu (Taşınım)

(4.6)

\varphi(\mathbf{r}_s,E,\boldsymbol{\Omega},t) = 0 \quad \text{if } \boldsymbol{\Omega}\cdot\hat{\mathbf{n}}_s < 0, \;\; \mathbf{r}_s \text{ on } S

Yeniden-girmeyen dışbükey bir cisme dış vakumdan hiçbir nötronun girmediğini ifade eder: yüzeyde tüm içe yönler için açısal akı sıfırlanır. Bu, difüzyon teorisinin yalnızca yaklaşıklayabildiği tam serbest-yüzey koşuludur.

sembolanlambirim

\mathbf{r}_s

S yüzeyi üzerindeki nokta–

\hat{\mathbf{n}}_s

r_s'de dışa yüzey normali–

Fisyon Kaynak Terimi

(4.7)

s_f(\mathbf{r},E,t) = \frac{\chi(E)}{4\pi}\int_0^{\infty} dE'\, \nu(E')\,\Sigma_f(E')\,\phi(\mathbf{r},E',t)

Taşınım denklemine, χ(E) enerji dağılımıyla izotropik olarak (dolayısıyla /4π) doğan ani fisyon nötronlarını ekler. Denklemi kendisine geri bağlar ve zincirleme tepkime problemini çoğaltma faktörü k için bir özdeğer problemi hâline getirir.

sembolanlambirim

\chi(E)

fisyon spektrumu (enerji dağılımı)MeV^{-1}

\nu(E')

fisyon başına ortalama nötron sayısı–

\Sigma_f

makroskopik fisyon tesir kesiticm^{-1}

Tek Boyutlu Düzlem-Geometri Taşınım Denklemi

(4.8)

\frac{1}{v}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mu\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \Sigma_t\,\varphi(x,E,\mu,t) = \int_{-1}^{1} d\mu' \int_0^{\infty} dE'\, \Sigma_s(E'\!\to\!E,\,\mu'\!\to\!\mu)\,\varphi(x,E',\mu',t) + s

Açısal değişken olarak μ=cosθ ile düzlem-simetrik indirgemedir. Akış operatörü μ ∂/∂x'e indirgenir. Bu, ayrık-ordinatlar (S_N) yönteminin ayrıklaştırdığı kanonik formdur ve çoğu simülasyonun uyguladığı formdur.

sembolanlambirim

\mu

yön kosinüsü, cosθ–

x

uzaysal koordinatcm

Ayrık-Ordinatlar (S_N) Denklemleri

(4.9)

\mu_n\frac{d\varphi_n}{dx} + \Sigma_t\,\varphi_n = \sum_{n'=1}^{N} w_{n'}\,\Sigma_s(\mu_{n'}\!\to\!\mu_n)\,\varphi_{n'} + s_n, \qquad n=1,\dots,N

Açısal değişkeni, kuadratür ağırlıkları w_n ile N ayrık yöne μ_n ayrıklaştırır ve açısal integrali ağırlıklı bir toplama çevirir. Sonuç, karakteristikler boyunca tarama ile çözülen, uzayda N eşlenik birinci-derece ADD setidir.

sembolanlambirim

\mu_n

n'inci ayrık ordinat (yön)–

w_n

kuadratür ağırlığı (1-B'de Σw_n=2)–

\varphi_n

μ_n yönündeki açısal akıcm^{-2} s^{-1}

Açısal Akının P_N (Legendre) Açılımı

(4.10)

\varphi(x,E,\mu,t) = \sum_{l=0}^{N} \frac{2l+1}{2}\,\phi_l(x,E,t)\,P_l(\mu)

1-B açısal akıyı Legendre polinomlarında açar; taşınım denklemine yerleştirip ortogonallik kullanmak momentler φ_l için eşlenik denklemler verir. N=1'de kesme, difüzyon teorisinin temelindeki P_1 yaklaşımını verir.

sembolanlambirim

P_l(\mu)

l. dereceden Legendre polinomu–

\phi_l

l. açısal akı momenticm^{-2} s^{-1}

Çok-Gruplu Tesir Kesiti

(4.11)

\Sigma_{a,g} = \frac{\int_{E_g}^{E_{g-1}} \Sigma_a(E)\,\phi(E)\,dE}{\int_{E_g}^{E_{g-1}} \phi(E)\,dE}

g enerji grubu üzerinde akı-ağırlıklı ortalama tesir kesitidir; çok-gruplu denklemlerde kullanılan etkin sabiti tanımlar. Ağırlıklama akısı kendisi bilinmediğinden grup sabitleri yinelemeli olarak veya yaklaşık spektrumlardan hesaplanır.

sembolanlambirim

\Sigma_{a,g}

g grubu soğurma tesir kesiticm^{-1}

E_g, E_{g-1}

g grubunun alt/üst enerji sınırlarıeV

Nötron Süreklilik Denklemi

(4.12)

\frac{1}{v}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} + \Sigma_a\,\phi(\mathbf{r},t) = S(\mathbf{r},t)

Tek-hızlı taşınım denkleminin sıfırıncı açısal momenti (P_0): değişim hızı = -sızıntı - soğurma + kaynak. Tek-hızlı formda kesindir ancak iki bilinmeyeni φ ve J'yi ilişkilendirdiği için kapalı değildir; kapatmak için Fick yasası gerekir.

sembolanlambirim

\Sigma_a

makroskopik soğurma tesir kesiticm^{-1}

S

izotropik kaynak hız yoğunluğucm^{-3} s^{-1}

Fick Yasası (Difüzyon Yaklaşımı)

(4.13)

\mathbf{J}(\mathbf{r},t) = -D(\mathbf{r})\,\nabla\phi(\mathbf{r},t)

Net nötron akımının, orantı katsayısı D ile akı gradyanının tersine aktığını ifade eder. P_1 akım denkleminden v⁻¹∂J/∂t ve anizotropik kaynak düşürülerek türetilir; süreklilik denklemini kapatır ve difüzyon teorisinin tanımlayıcı bağıntısıdır.

sembolanlambirim

D

difüzyon katsayısıcm

\nabla\phi

skaler akının uzaysal gradyanıcm^{-3} s^{-1}

Difüzyon Katsayısı ve Taşınım Tesir Kesiti

(4.14)

D = \frac{1}{3\,\Sigma_{tr}} = \frac{1}{3(\Sigma_t - \bar{\mu}_0\,\Sigma_s)}, \qquad \lambda_{tr} = \frac{1}{\Sigma_{tr}}

D'yi, ortalama saçılma kosinüsü μ̄₀ aracılığıyla toplam tesir kesitini anizotropik (ileri-tepeli) saçılma için düzelten taşınım tesir kesiti Σ_tr=Σ_t-μ̄₀Σ_s cinsinden tanımlar. Taşınım ortalama serbest yolu λ_tr onun tersidir.

sembolanlambirim

\Sigma_{tr}

makroskopik taşınım tesir kesiticm^{-1}

\bar{\mu}_0

saçılma açısının ortalama kosinüsü (≈2/3A)–

\lambda_{tr}

taşınım ortalama serbest yolucm

Tek-Hızlı Nötron Difüzyon Denklemi

(4.15)

\frac{1}{v}\frac{\partial \phi}{\partial t} - \nabla\cdot D(\mathbf{r})\nabla\phi + \Sigma_a(\mathbf{r})\,\phi(\mathbf{r},t) = S(\mathbf{r},t)

Tepe taşı denklemi: Fick yasasının süreklilik denklemine yerleştirilmesi skaler akı için parabolik bir KDD verir. Pratik reaktör analizinin (kritiklik, akı şekilleri, yansıtıcılar) iş atıdır ve Bölüm 5'in çözüm yöntemlerinin konusudur.

sembolanlambirim

\phi

skaler akıcm^{-2} s^{-1}

D

difüzyon katsayısıcm

\Sigma_a

makroskopik soğurma tesir kesiticm^{-1}

Arayüz Sınır Koşulları

(4.16)

\phi_1(\mathbf{r}_s) = \phi_2(\mathbf{r}_s), \qquad -D_1\nabla\phi_1(\mathbf{r}_s) = -D_2\nabla\phi_2(\mathbf{r}_s)

İki malzeme arasındaki arayüzde skaler akının ve net akımın normal bileşeninin sürekliliğidir. Bunlar, bir sınır boyunca açısal akının tam taşınım sürekliliğinin difüzyon-teorisi karşılıklarıdır.

sembolanlambirim

\phi_1,\phi_2

1 ve 2 bölgelerindeki skaler akıcm^{-2} s^{-1}

D_1,D_2

1, 2 bölgelerinin difüzyon katsayılarıcm

Ekstrapole Edilmiş (Vakum) Sınır Koşulu

(4.17)

\phi(\tilde{x}) = 0, \qquad \tilde{x} = x_s + z_0, \qquad z_0 = 0.7104\,\lambda_{tr}

Vakum koşulunu, lineer ekstrapole edilmiş difüzyon akısının fiziksel yüzeyin z₀ ötesinde sıfırlanmasını isteyerek yaklaşıklar. Taşınım-teorik değer z₀=0.7104λ_tr (Milne problemi) kullanılır; gerçek akı orada aslında sıfırlanmaz.

sembolanlambirim

z_0

ekstrapolasyon uzunluğucm

x_s

fiziksel yüzey konumucm

\lambda_{tr}

taşınım ortalama serbest yolucm

Marshak Vakum Sınır Koşulu

(4.18)

J_-(\mathbf{r}_s) = \frac{\phi(\mathbf{r}_s)}{4} + \frac{D}{2}\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\nabla\phi(\mathbf{r}_s) = 0

J₋'nin P_1 tahminini kullanarak serbest yüzeyde içe kısmi akımı sıfıra eşitler. Yeniden düzenlendiğinde, ekstrapole edilmiş sınırı tanımlayan gradyan/akı oranını verir ve fiziksel olarak gerekçelendirilmiş bir difüzyon vakum koşulu sağlar.

sembolanlambirim

J_-

içe kısmi akımcm^{-2} s^{-1}

\hat{\mathbf{n}}

dışa yüzey normali–

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Her fisyon, yeni fisyonları tetikleyebilecek nötronlar salar. Çoğaltma faktörü popülasyonun büyüyeceğini, sabit mi kalacağını yoksa söneceğini mi belirler. Kontrol çubuklarını sokup çıkarmak için kaydırıcıyı sürükleyin ve nötron popülasyonunun tepkisini izleyin.

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Ayrık-Ordinatlar (S_N) Levha Taşınım Çözücüsü

Öğrenci, izotropik saçılmalı tek-hızlı, 1-B levha taşınım denklemini S_N yöntemiyle çözer. Kaynak-iterasyon taramaları yakınsadıkça açısal akının levha boyunca yön-yön nasıl oluştuğunu izler ve elde edilen skaler akıyı difüzyon-teorisi çözümüyle karşılaştırarak ikisinin nerede uyuştuğunu (derin iç bölge) ve ayrıştığını (vakum sınırları yakınında, güçlü soğurucularda) görür.

GİRDİLER

Slab thickness L (1-50 cm) · Total cross section Σ_t (0.1-2.0 cm^-1) · Scattering ratio c=Σ_s/Σ_t (0.0-0.99) · Quadrature order N (S2, S4, S8, S16) · Uniform source S (0-10 n/cm^3/s) · Boundary type (vacuum / reflective)

ÇIKTILAR

Scalar flux φ(x) line plot · Angular flux φ(x,μ_n) heatmap over x and μ · Overlaid diffusion-theory φ(x) for comparison · Convergence (residual vs source iteration) readout · Leakage / absorption balance table

YÖNTEMDiscrete-ordinates (S_N) with Gauss-Legendre angular quadrature; diamond-difference spatial discretization on a uniform mesh; source (Richardson) iteration on the scattering term, optionally accelerated.

KOD KANCASIÖğrenci, Rust/WASM'de transport_sweep(mu, w, sigma_t, sigma_s, source, mesh) fonksiyonunu uygular — açısal akıyı her ordinat boyunca yayan iç uzaysal tarama ve saçılma-kaynağı güncellemesi. Platform her iterasyonda kodlarını çağırır ve açısal-akı ısı haritasını ile yakınsama eğrisini canlı çizer; böylece doğru bir elmas-fark taraması düzgün yakınsama üretirken, hatalı olanı gözle görülür biçimde salınır veya ıraksar.

Konsola Gir: sn-transport →

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Difüzyon-Taşınım Geçerlilik Kâşifi

Öğrenci aynı levhayı yan yana (a) ekstrapole edilmiş sınırla tek-hızlı difüzyon denklemi ve (b) S_N taşınım çözücüsüyle çözer; sonra soğurma oranını ve levha boyutunu tarayarak difüzyon teorisinin tam olarak ne zaman çöktüğünü haritalar. Canlı bir hata ölçütü, bölümde adı geçen dört başarısızlık rejimini niceler: sınırlar yakınında, yerel kaynaklar yakınında, güçlü soğurucularda ve optik olarak ince ortamlarda.

GİRDİLER

Slab optical thickness Σ_t·L (0.1-50) · Absorption probability 1-c (0.001-0.5) · Source profile (uniform / point / edge) · Extrapolation length toggle (0 vs 0.7104λ_tr)

ÇIKTILAR

Dual φ(x) curves (diffusion vs transport) · Relative-error vs position plot · Heatmap of max error over (Σ_t·L, 1-c) parameter plane · Numeric agreement score

YÖNTEMFinite-difference solution of the 1-D diffusion equation (tridiagonal Thomas algorithm) benchmarked against the S_N transport reference from simulation 1; parameter sweep to build the error surface.

KOD KANCASIÖğrenci, tridiagonal çözümle φ(x) döndüren solve_diffusion_1d(D, sigma_a, source, dx, bc) fonksiyonunu yazar. Platform çıktılarını taşınım referansıyla otomatik kıyaslar ve parametre-düzlemi ısı haritasını, difüzyon çözümlerinin doğru olduğu yerde yeşil, başarısız olduğu yerde kırmızı boyar — kodlarını doğrudan bir geçerlilik haritasına çevirir.

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Monte Carlo Nötron Akış Görselleştirici

Öğrenci 2-B bir bölgede binlerce nötron geçmişi başlatır ve onların akışını, saçılmasını (izotropik veya seçilen μ̄₀ ile) ve soğurulmasını izler; skaler akıyı bir sayım ızgarasında biriktirir. İleri-tepeli saçılmayı artırarak taşınım ortalama serbest yolunun uzadığını ve popülasyonun daha geniş yayıldığını görür — D=λ_tr/3'ün anizotropiyle neden büyüdüğünün doğrudan, fiziksel bir görünümü.

GİRDİLER

Number of histories (10^3-10^6) · Σ_t (0.05-1.0 cm^-1) · Scattering ratio c (0-0.99) · Mean scattering cosine μ̄₀ (-0.3 to 0.9) · Source position · Region geometry (square / disk)

ÇIKTILAR

Animated neutron tracks · Tallied scalar-flux heatmap · Empirical λ_tr readout · Histogram of free-flight distances · Comparison of MC flux to diffusion prediction

YÖNTEMAnalog Monte Carlo: sample exponential free flights from Σ_t, sample scattering angle from a linearly-anisotropic kernel via μ̄₀, Russian-roulette/absorption at collisions, track-length flux estimator on a grid.

KOD KANCASIÖğrenci, Rust/WASM'de sample_collision(rng, pos, dir, sigma_t, c, mu0) → (new_pos, new_dir, survived) fonksiyonunu uygular. Çizici, örnekleyicilerinin ürettiği tam izleri canlandırır; doğru üstel örnekleme ve açısal çekirdek, ölçülen λ_tr'si 1/(Σ_t-μ̄₀Σ_s) ile uyuşan fiziksel olarak yayılan bir bulut verirken, örnekleme hataları çarpık izler veya yanlış serbest-yol histogramları olarak görünür.

Sayısal veriler

Extrapolation length coefficientz₀ = 0.7104 λ_trDüzlem vakum sınırı için tam taşınım (Milne problemi) değeri.

Mean scattering cosineμ̄₀ ≈ 2/(3A)A kütle numaralı çekirdekten izotropik KM saçılması için saçılma açısının ortalama lab-çerçeve kosinüsü.

Independent variables of transport equation7 (x, y, z, θ, φ, E, t)Üç uzay, iki açı, bir enerji, bir zaman — doğrudan çözümün neden bu kadar zorlu olduğunun nedeni.

Collision frequency scalevΣ_t ~ 10^5 s^-1 or largerFick yasası türetilirken v⁻¹∂J/∂t'nin ihmalini gerekçelendirir.

Thermal diffusion coefficient of waterD ≈ 0.16 cmTemsilî termal-nötron değeri (D=λ_tr/3); küçük λ_tr suyu güçlü bir moderatör/yansıtıcı yapar.

Thermal diffusion coefficient of graphiteD ≈ 0.84 cmDaha büyük D, daha uzun taşınım osy'yi yansıtır; grafit düşük-soğurmalı bir moderatördür.

Neutron energy span10^-3 eV to 10^7 eVFarklı fiziklere (fisyon, yavaşlama, termalizasyon) sahip on ondalık enerji aralığı çok-gruplu yaklaşımı zorunlu kılar.

YAZILIM NOTU

Bu bölüm hesaplamalı reaktör fiziğinin kavramsal köküdür ve öğrenciler üretim kodlarının kullandığı yöntemleri kodlamayı öğrenir. Buradaki ayrık-ordinatlar (S_N) yöntemi DOORS/TORT, PARTISN gibi kodları ve DRAGON ile OpenMOC'taki kafes taşınımını yansıtırken, çok-gruplu formalizm hemen hemen her deterministik çözücünün temelidir. Öğrenciler, tarayıcı içi hız için WASM'e derlenen Rust ile şunları uygular: (1) kaynak iterasyonuyla sürülen, Gauss-Legendre kuadratürü ve elmas-fark uzaysal ayrıklaştırmasıyla bir S_N taşınım taraması; (2) ekstrapole edilmiş vakum sınırlarıyla tridiagonal Thomas algoritması kullanan bir sonlu-fark difüzyon çözücüsü; ve (3) üstel serbest-uçuş örneklemesi ve anizotropik saçılma dâhil, MCNP ve OpenMC'yi andıran bir analog Monte Carlo akış/çarpışma çekirdeği. Yedi değişkenli bir integro-diferansiyel denklemi seyrek lineer cebire çevirmenin pratik sanatını ve tüm reaktör kodlarının paylaştığı yinelemeli yapıyı (iç saçılma taramaları, dış kaynak/özdeğer iterasyonları) öğrenirler. Ayrıca ucuz bir modeli (difüzyon) pahalı bir referansa (taşınım/Monte Carlo) karşı kıyaslamayı ve yakınsama ile denge tanılarını okumayı öğrenirler. TypeScript katmanı arayüz, çizim ve orkestrasyonu yönetirken, sayısal olarak yoğun çekirdekler WASM'de çalışır; bu da öğrencilere modern mühendislik yazılımını yansıtan, sunum ile yüksek-başarımlı hesaplama arasında gerçekçi bir ayrım verir.

ALGORİTMALAR

Discrete ordinates (S_N) sweepGauss-Legendre quadratureDiamond-difference spatial discretizationSource (Richardson) iterationSpherical-harmonics / P_N projectionMultigroup energy condensationTridiagonal (Thomas) algorithmAnalog Monte Carlo with track-length flux estimator

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

Pratiğe dökün

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Fisyon Zincirleme Reaksiyonları ve Nükleer Reaktörler—Giriş

Tek-Hızlı Difüzyon Teorisi Modeli

Ders 4 / 15İleri~40 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Nötron Taşınımı

Giriş Kavramları

angular neutron densityangular fluxangular current densityscalar fluxnet current densitypartial currentsphase spaceisotropy and anisotropy

Nötron Taşınım Denklemi

Boltzmann equationneutron balancestreaming termin-scatteringfission sourcefission spectrumvacuum boundary conditionintegro-differential equationGauss's theorem

Taşınım Denkleminin Doğrudan Sayısal Çözümü

discrete ordinates S_Nquadrature weightsspherical harmonicsP_N approximationP_1 approximationLegendre polynomialsmultigroup methodgroup cross sectionsfinite differencesdiscretization

Difüzyon Yaklaşımı

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (18)

Bu denklemi çalıştır: Ayrık-Ordinatlar (S_N) Levha Taşınım Çözücüsü →

Açısal Akı

(4.1)

\varphi(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t) = v\, n(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t)

sembolanlambirim

\varphi

açısal akıcm^{-2} s^{-1} sr^{-1}

v

nötron hızıcm/s

n

açısal nötron yoğunluğucm^{-3} sr^{-1}

\boldsymbol{\Omega}

birim yön vektörü–

Skaler (Açı-İntegralli) Akı

(4.2)

\phi(\mathbf{r},E,t) = \int_{4\pi} \varphi(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t)\, d\Omega

sembolanlambirim

\phi

skaler akıcm^{-2} s^{-1}

\varphi

açısal akıcm^{-2} s^{-1} sr^{-1}

d\Omega

diferansiyel katı açısr

Net Akım Yoğunluğu

(4.3)

\mathbf{J}(\mathbf{r},E,t) = \int_{4\pi} \boldsymbol{\Omega}\, \varphi(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t)\, d\Omega

sembolanlambirim

\mathbf{J}

net akım yoğunluğucm^{-2} s^{-1}

\boldsymbol{\Omega}

birim yön vektörü–

\varphi

açısal akıcm^{-2} s^{-1} sr^{-1}

Kısmi Akımlar

(4.4)

J_{\pm} = \int_{\boldsymbol{\Omega}\cdot\hat{\mathbf{n}}\gtrless 0} |\boldsymbol{\Omega}\cdot\hat{\mathbf{n}}|\, \varphi\, d\Omega, \qquad \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}} = J_+ - J_-

sembolanlambirim

J_{\pm}

dışa/içe kısmi akımcm^{-2} s^{-1}

\hat{\mathbf{n}}

dışa doğru birim yüzey normali–

Nötron Taşınım Denklemi

(4.5)

\frac{1}{v}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \boldsymbol{\Omega}\cdot\nabla\varphi + \Sigma_t\,\varphi = \int_{4\pi} d\Omega' \int_0^{\infty} dE'\, \Sigma_s(E'\!\to\!E,\,\boldsymbol{\Omega}'\!\to\!\boldsymbol{\Omega})\,\varphi(\mathbf{r},E',\boldsymbol{\Omega}',t) + s(\mathbf{r},E,\boldsymbol{\Omega},t)

sembolanlambirim

\Sigma_t

makroskopik toplam tesir kesiticm^{-1}

\Sigma_s(E'\to E,\boldsymbol{\Omega}'\to\boldsymbol{\Omega})

çift-diferansiyel saçılma tesir kesiticm^{-1} sr^{-1}

s

dış/bağımsız açısal kaynakcm^{-3} s^{-1} sr^{-1}

Vakum Sınır Koşulu (Taşınım)

(4.6)

\varphi(\mathbf{r}_s,E,\boldsymbol{\Omega},t) = 0 \quad \text{if } \boldsymbol{\Omega}\cdot\hat{\mathbf{n}}_s < 0, \;\; \mathbf{r}_s \text{ on } S

sembolanlambirim

\mathbf{r}_s

S yüzeyi üzerindeki nokta–

\hat{\mathbf{n}}_s

r_s'de dışa yüzey normali–

Fisyon Kaynak Terimi

(4.7)

s_f(\mathbf{r},E,t) = \frac{\chi(E)}{4\pi}\int_0^{\infty} dE'\, \nu(E')\,\Sigma_f(E')\,\phi(\mathbf{r},E',t)

sembolanlambirim

\chi(E)

fisyon spektrumu (enerji dağılımı)MeV^{-1}

\nu(E')

fisyon başına ortalama nötron sayısı–

\Sigma_f

makroskopik fisyon tesir kesiticm^{-1}

Tek Boyutlu Düzlem-Geometri Taşınım Denklemi

(4.8)

\frac{1}{v}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mu\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \Sigma_t\,\varphi(x,E,\mu,t) = \int_{-1}^{1} d\mu' \int_0^{\infty} dE'\, \Sigma_s(E'\!\to\!E,\,\mu'\!\to\!\mu)\,\varphi(x,E',\mu',t) + s

sembolanlambirim

\mu

yön kosinüsü, cosθ–

x

uzaysal koordinatcm

Ayrık-Ordinatlar (S_N) Denklemleri

(4.9)

\mu_n\frac{d\varphi_n}{dx} + \Sigma_t\,\varphi_n = \sum_{n'=1}^{N} w_{n'}\,\Sigma_s(\mu_{n'}\!\to\!\mu_n)\,\varphi_{n'} + s_n, \qquad n=1,\dots,N

sembolanlambirim

\mu_n

n'inci ayrık ordinat (yön)–

w_n

kuadratür ağırlığı (1-B'de Σw_n=2)–

\varphi_n

μ_n yönündeki açısal akıcm^{-2} s^{-1}

Açısal Akının P_N (Legendre) Açılımı

(4.10)

\varphi(x,E,\mu,t) = \sum_{l=0}^{N} \frac{2l+1}{2}\,\phi_l(x,E,t)\,P_l(\mu)

sembolanlambirim

P_l(\mu)

l. dereceden Legendre polinomu–

\phi_l

l. açısal akı momenticm^{-2} s^{-1}

Çok-Gruplu Tesir Kesiti

(4.11)

\Sigma_{a,g} = \frac{\int_{E_g}^{E_{g-1}} \Sigma_a(E)\,\phi(E)\,dE}{\int_{E_g}^{E_{g-1}} \phi(E)\,dE}

sembolanlambirim

\Sigma_{a,g}

g grubu soğurma tesir kesiticm^{-1}

E_g, E_{g-1}

g grubunun alt/üst enerji sınırlarıeV

Nötron Süreklilik Denklemi

(4.12)

\frac{1}{v}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} + \Sigma_a\,\phi(\mathbf{r},t) = S(\mathbf{r},t)

sembolanlambirim

\Sigma_a

makroskopik soğurma tesir kesiticm^{-1}

S

izotropik kaynak hız yoğunluğucm^{-3} s^{-1}

Fick Yasası (Difüzyon Yaklaşımı)

(4.13)

\mathbf{J}(\mathbf{r},t) = -D(\mathbf{r})\,\nabla\phi(\mathbf{r},t)

sembolanlambirim

D

difüzyon katsayısıcm

\nabla\phi

skaler akının uzaysal gradyanıcm^{-3} s^{-1}

Difüzyon Katsayısı ve Taşınım Tesir Kesiti

(4.14)

D = \frac{1}{3\,\Sigma_{tr}} = \frac{1}{3(\Sigma_t - \bar{\mu}_0\,\Sigma_s)}, \qquad \lambda_{tr} = \frac{1}{\Sigma_{tr}}

sembolanlambirim

\Sigma_{tr}

makroskopik taşınım tesir kesiticm^{-1}

\bar{\mu}_0

saçılma açısının ortalama kosinüsü (≈2/3A)–

\lambda_{tr}

taşınım ortalama serbest yolucm

Tek-Hızlı Nötron Difüzyon Denklemi

(4.15)

\frac{1}{v}\frac{\partial \phi}{\partial t} - \nabla\cdot D(\mathbf{r})\nabla\phi + \Sigma_a(\mathbf{r})\,\phi(\mathbf{r},t) = S(\mathbf{r},t)

sembolanlambirim

\phi

skaler akıcm^{-2} s^{-1}

D

difüzyon katsayısıcm

\Sigma_a

makroskopik soğurma tesir kesiticm^{-1}

Arayüz Sınır Koşulları

(4.16)

\phi_1(\mathbf{r}_s) = \phi_2(\mathbf{r}_s), \qquad -D_1\nabla\phi_1(\mathbf{r}_s) = -D_2\nabla\phi_2(\mathbf{r}_s)

sembolanlambirim

\phi_1,\phi_2

1 ve 2 bölgelerindeki skaler akıcm^{-2} s^{-1}

D_1,D_2

1, 2 bölgelerinin difüzyon katsayılarıcm

Ekstrapole Edilmiş (Vakum) Sınır Koşulu

(4.17)

\phi(\tilde{x}) = 0, \qquad \tilde{x} = x_s + z_0, \qquad z_0 = 0.7104\,\lambda_{tr}

sembolanlambirim

z_0

ekstrapolasyon uzunluğucm

x_s

fiziksel yüzey konumucm

\lambda_{tr}

taşınım ortalama serbest yolucm

Marshak Vakum Sınır Koşulu

(4.18)

J_-(\mathbf{r}_s) = \frac{\phi(\mathbf{r}_s)}{4} + \frac{D}{2}\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\nabla\phi(\mathbf{r}_s) = 0

sembolanlambirim

J_-

içe kısmi akımcm^{-2} s^{-1}

\hat{\mathbf{n}}

dışa yüzey normali–

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Ayrık-Ordinatlar (S_N) Levha Taşınım Çözücüsü

GİRDİLER

ÇIKTILAR

Konsola Gir: sn-transport →

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Difüzyon-Taşınım Geçerlilik Kâşifi

GİRDİLER

Slab optical thickness Σ_t·L (0.1-50) · Absorption probability 1-c (0.001-0.5) · Source profile (uniform / point / edge) · Extrapolation length toggle (0 vs 0.7104λ_tr)

ÇIKTILAR

Dual φ(x) curves (diffusion vs transport) · Relative-error vs position plot · Heatmap of max error over (Σ_t·L, 1-c) parameter plane · Numeric agreement score

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Monte Carlo Nötron Akış Görselleştirici

GİRDİLER

Number of histories (10^3-10^6) · Σ_t (0.05-1.0 cm^-1) · Scattering ratio c (0-0.99) · Mean scattering cosine μ̄₀ (-0.3 to 0.9) · Source position · Region geometry (square / disk)

ÇIKTILAR

Animated neutron tracks · Tallied scalar-flux heatmap · Empirical λ_tr readout · Histogram of free-flight distances · Comparison of MC flux to diffusion prediction

Sayısal veriler

Extrapolation length coefficientz₀ = 0.7104 λ_trDüzlem vakum sınırı için tam taşınım (Milne problemi) değeri.

Mean scattering cosineμ̄₀ ≈ 2/(3A)A kütle numaralı çekirdekten izotropik KM saçılması için saçılma açısının ortalama lab-çerçeve kosinüsü.

Independent variables of transport equation7 (x, y, z, θ, φ, E, t)Üç uzay, iki açı, bir enerji, bir zaman — doğrudan çözümün neden bu kadar zorlu olduğunun nedeni.

Collision frequency scalevΣ_t ~ 10^5 s^-1 or largerFick yasası türetilirken v⁻¹∂J/∂t'nin ihmalini gerekçelendirir.

Thermal diffusion coefficient of waterD ≈ 0.16 cmTemsilî termal-nötron değeri (D=λ_tr/3); küçük λ_tr suyu güçlü bir moderatör/yansıtıcı yapar.

Thermal diffusion coefficient of graphiteD ≈ 0.84 cmDaha büyük D, daha uzun taşınım osy'yi yansıtır; grafit düşük-soğurmalı bir moderatördür.

Neutron energy span10^-3 eV to 10^7 eVFarklı fiziklere (fisyon, yavaşlama, termalizasyon) sahip on ondalık enerji aralığı çok-gruplu yaklaşımı zorunlu kılar.

YAZILIM NOTU

ALGORİTMALAR

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

Pratiğe dökün

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Fisyon Zincirleme Reaksiyonları ve Nükleer Reaktörler—Giriş

Tek-Hızlı Difüzyon Teorisi Modeli