Ders 5 / 15Orta~40 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Tek-Hızlı Difüzyon Teorisi Modeli

Bu bölüm, temel reaktör fiziğinin iş atını oluşturur: tek-hızlı (tek-grup) nötron difüzyon modeli. Keyfi bir hacim üzerindeki nötron dengesinden ve Fick yasasından, J = -D grad(phi), yola çıkarak zamana bağlı ve kararlı-durum difüzyon denklemlerini türetir; ardından bunları çoğalmayan ortamlardaki (zırhlama, nötron kaynakları, levhalar, küreler) kaynak-sürümlü problemlere özelleştirir; burada difüzyon uzunluğu L = sqrt(D/Sigma_a) doğal zayıflama ölçeği olarak ortaya çıkar. Sınır ve arayüz koşulları, vakum (ekstrapole edilmiş) sınırı z0 = 0.7104*lambda_tr dahil olmak üzere dikkatlice ele alınır. Model daha sonra fisyon kaynağı nu*Sigma_f*phi eklenerek çoğalan bir ortama uygulanır; bu, kararlı-durum denklemini bir özdeğer problemine dönüştürür. Değişkenlerine ayırma yöntemi, geometrik buckling B_g^2 (çekirdek boyutu ve şekli ile belirlenen) ve malzeme buckling B_m^2 (bileşim ile belirlenen) büyüklüklerini verir; kritiklik, zarif B_m^2 = B_g^2 koşuludur, eşdeğer olarak k = (nu*Sigma_f/Sigma_a)/(1 + L^2*B_g^2) = 1. Bölüm, levha, silindir ve küre için buckling değerlerini ve temel akı şekillerini tablolaştırır; yansıtıcılı çekirdek (iki-bölge) analizini ve yansıtıcı tasarrufunu tanıtır. Modern reaktör kodlarının hesaplama omurgasıyla kapanır: difüzyon operatörünün sonlu-fark ayrıklaştırması ve kritiklik özdeğeri için güç (kaynak) iterasyon yöntemi, kaynak-ekstrapolasyon hızlandırmasıyla birlikte. Son olarak, pertürbasyon teorisi, kesit veya geometrideki küçük değişikliklerden dolayı reaktivite değişimlerini Delta-rho tüm problemi yeniden çözmeden hesaplamak için eşlenik (adjoint) akı kullanılarak geliştirilir; bu, kontrol çubuğu değeri ve reaktivite katsayısı hesaplarının temelidir. Bu, nötron transportundan pratik reaktör tasarımına giden kavramsal ve sayısal köprüdür.

Tek-Hızlı Difüzyon Denklemi

Keyfi bir kontrol hacmi üzerindeki nötron dengesi, nötron yoğunluğunun zamansal değişim hızını kazançlara (kaynak artı iç-saçılım) eksi kayıplara (soğurma artı net kaçak) eşitler. Diverjans teoremi uygulanarak yüzey kaçağı net akım J'nin diverjansına dönüştürülür. Dengeyi kapatmak için J'nin akı cinsinden bir bünyesel bağıntısı gerekir: Fick yasası, J = -D grad(phi), difüzyon katsayısı D = 1/(3*Sigma_tr) = lambda_tr/3 ile. Bu, akının yavaş değiştiği, saçılımın neredeyse izotropik olduğu ve kaynaklardan, sınırlardan ve güçlü soğurucularden birkaç serbest yol uzaklıkta geçerli olan bir P1/difüzyon yaklaşımıdır. Fick yasası yerine konulduğunda tek-hızlı difüzyon denklemi elde edilir: (1/v) d(phi)/dt - D*lap(phi) + Sigma_a*phi = S. Bölüm, sınırlamalarını açıkça belirtir ve bunu tam transport denkleminin sezgisel ama nicel olarak yararlı bir indirgenişi olarak çerçevelendirir.

neutron balanceFick's lawnet currentdiffusion coefficienttransport mean free pathdiffusion approximationP1 approximation

Çoğalmayan Ortamlarda Nötron Difüzyonu

Fisyonsuz bir ortamda kararlı-durum difüzyon denklemi -D*lap(phi) + Sigma_a*phi = S olur; çoğunlukla lap(phi) - phi/L^2 = -S/D şeklinde yazılır; burada L = sqrt(D/Sigma_a) difüzyon uzunluğudur. Sonsuz ortamda bir nokta kaynak için akı exp(-r/L)/r olarak azalır; bir levhada exp(-x/L) olarak azalır. L^2'nin kesin bir fiziksel anlamı vardır: bir nötronun doğuşundan soğurulmaya kadar aldığı karga-uçuşu mesafesinin ortalama-karesinin altı-da-biridir. Sınır koşulları merkezidir: akı sonluluğu ve simetri, malzeme arayüzlerinde akı ve normal akımın sürekliliği ve vakum sınırı; bu sonuncusu ya z0 = 0.7104*lambda_tr ekstrapole sınırında phi(R_ekstrap)=0 olarak ya da Marshak/kısmi-akım koşulu ile ele alınır. Çalışılmış geometriler (sonsuz/sonlu levha, küre, nokta ve düzlem kaynaklar), fisyon tanıtılmadan önce zayıflama, kaçak ve L'nin rolü hakkında sezgi oluşturur.

diffusion lengthpoint sourceexponential attenuationboundary conditionsinterface conditionsextrapolation lengthvacuum boundaryMarshak condition

Bir Nükleer Reaktörün Tek-Hızlı Difüzyon Modeli

Dengeye fisyon kaynağı nu*Sigma_f*phi eklemek difüzyon denklemini homojen bir probleme çevirir: D*lap(phi) - Sigma_a*phi + nu*Sigma_f*phi = (1/v) d(phi)/dt. lap(psi_n) + B_n^2 psi_n = 0 ile phi = sum A_n exp(-lambda_n t) psi_n(r) zaman özkiplerini ararken, yalnızca çekirdek boyutu, şekli ve sınır koşullarıyla belirlenen ayrık bir geometrik özdeğer (buckling) B_n^2 spektrumu ortaya çıkar. En küçük özdeğer B_1^2 = B_g^2 (geometrik buckling), kalıcı, her yerde pozitif temel kipe karşılık gelir; tüm yüksek kipler daha hızlı söner. Buckling, kipin eğriliğidir, B^2 = -lap(psi)/psi; dolayısıyla daha büyük çekirdekler daha küçük buckling ve daha az kaçak gösterir. Bölüm, çıplak levha, sonsuz silindir, sonlu silindir ve küre için B_g^2 ve temel akı profillerini tablolaştırır; bu, izleyen kritiklik analizini hazırlar.

fission sourcehomogeneous eigenvalue problemtime eigenvaluesgeometric bucklingfundamental modeHelmholtz equationflux profiles

Reaktör Kritiklik Hesapları

Kritiklik, yalnızca fisyonla sürdürülen (dış kaynak olmadan) zamandan bağımsız bir akı olarak tanımlanır. Temel zaman özdeğerinin sıfırlanmasını istemek kritiklik koşulunu verir: malzeme buckling B_m^2 = (nu*Sigma_f - Sigma_a)/D, geometrik buckling B_g^2'ye eşit olmalıdır. Eşdeğer olarak, etkin çoğalma faktörü k = k_inf/(1 + L^2*B_g^2) = 1; burada k_inf = nu*Sigma_f/Sigma_a ve 1/(1+L^2*B_g^2) kaçmama olasılığıdır. B_m^2 > B_g^2 süper-kritik, eşit kritik, küçük alt-kritiktir. Boyut (B_g^2) veya bileşim (B_m^2) ayarlanarak bir kritiklik araması yapılır. Yansıtıcılı ve heterojen çekirdekler için analitik özdeğer yaklaşımı yetersiz kalır; bu nedenle bölüm hesaplama yolunu geliştirir: D*lap - Sigma_a'nın sonlu-fark ayrıklaştırılmasıyla bir M matrisi oluşturmak ve en büyük k-özdeğerini ve temel akısını bulmak için güç/kaynak iterasyonu, kaynak ekstrapolasyonuyla hızlandırılır. Bu, üretim difüzyon kodlarının algoritmik çekirdeğidir.

criticality conditionmaterial bucklinggeometric bucklingeffective multiplication factornon-leakage probabilityk_infcriticality searchpower iterationfinite-difference methodreflected corereflector savings

Pertürbasyon Teorisi

Pertürbasyon teorisi, çekirdek bileşimi veya geometrisindeki küçük bir değişimden dolayı reaktivite değişimini, kritiklik problemini yeniden çözmeden hesaplar. Eşlenik akı phi-dagger, eşlenik kritiklik probleminin M-dagger*phi-dagger = (1/k)*F-dagger*phi-dagger çözümü olarak tanımlanır; eşlenik, bir nötronun nerede doğduğunu ağırlıklayan önem fonksiyonu olarak davranır. Pertürbe edilmiş denklemin phi-dagger ile iç çarpımını alıp yalnızca birinci-mertebe terimleri tutmak, birinci-mertebe reaktivite değişimini Delta-rho = -(phi-dagger, delta-M phi)/(phi-dagger, F phi) verir. Tek-hızlı difüzyon modelinde operatör öz-eşleniktir, dolayısıyla phi-dagger = phi olur ve reaktivite değişimi, kesit pertürbasyonunun akı-karesi-ağırlıklı integraline indirgenir. Klasik uygulama kontrol çubuğu değeridir: bir levhanın bir kısmına delta-Sigma_a soğurucusu yerleştirmek, soğurulan bölge üzerinde phi^2 integraliyle ölçeklenen ve akının en büyük olduğu yerde (çekirdek merkezi) maksimum olan bir değer verir. Bu, diferansiyel ve integral çubuk değerini, reaktivite katsayılarını ve reaktör fiziğinde tekrar eden önem-ağırlıklamasını motive eder.

adjoint fluximportance functionfirst-order perturbation theoryreactivityself-adjoint operatorcontrol-rod worthdifferential worthreactivity coefficientinner product

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (19)

Bu denklemi çalıştır: 1B Kritiklik Araması ve Akı Profili →

Nötron Akımı için Fick Yasası

(5.1)

\mathbf{J}(\mathbf{r}) = -D\,\nabla\phi(\mathbf{r})

Nötron dengesini kapatan bünyesel bağıntı: net akım, akının negatif gradyanıyla orantılıdır. Neredeyse izotropik saçılım ve kaynaklardan/sınırlardan uzakta yavaş değişen akı için geçerlidir.

sembolanlambirim

\mathbf{J}

net nötron akım yoğunluğucm^-2 s^-1

D

difüzyon katsayısıcm

\phi

skaler nötron akısıcm^-2 s^-1

Difüzyon Katsayısı

(5.2)

D = \frac{1}{3\Sigma_{tr}} = \frac{\lambda_{tr}}{3} = \frac{1}{3(\Sigma_t - \bar{\mu}_0\Sigma_s)}

Difüzyon katsayısını transport kesitinden tanımlar; anizotropi düzeltmesi bar(mu_0) = 2/(3A) ile. Daha büyük transport serbest yolu daha hızlı difüzyon demektir.

sembolanlambirim

\Sigma_{tr}

makroskopik transport kesiticm^-1

\lambda_{tr}

transport serbest yolucm

\bar{\mu}_0

saçılım açısının ortalama kosinüsü–

\Sigma_s

makroskopik saçılım kesiticm^-1

Zamana Bağlı Tek-Hızlı Difüzyon Denklemi

(5.3)

\frac{1}{v}\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\nabla^2\phi - \Sigma_a\phi + S

Genel tek-hızlı nötron dengesi: depolama, kaçağa (D*lap) eksi soğurma artı kaynağa eşittir. Bölüm boyunca özelleştirilen ana denklem.

sembolanlambirim

v

nötron hızıcm s^-1

\Sigma_a

makroskopik soğurma kesiticm^-1

S

nötron kaynak yoğunluğucm^-3 s^-1

\nabla^2\phi

akının Laplasyeni (eğrilik)cm^-4 s^-1

Çoğalmayan Ortamda Kararlı-Durum Difüzyonu

(5.4)

\nabla^2\phi - \frac{1}{L^2}\phi = -\frac{S}{D}

Fisyonun olmadığı (zırhlama, kaynak problemleri) kaynak-sürümlü akıyı yöneten Helmholtz tipi denklem. Çözümler difüzyon uzunluğu L ölçeğinde azalır.

sembolanlambirim

L

difüzyon uzunluğucm

\phi

nötron akısıcm^-2 s^-1

S

kaynak yoğunluğucm^-3 s^-1

D

difüzyon katsayısıcm

Difüzyon Uzunluğu

(5.5)

L = \sqrt{\frac{D}{\Sigma_a}}, \qquad L^2 = \frac{1}{6}\langle r^2 \rangle

Nötron akısının karakteristik zayıflama uzunluğu; L^2, doğuştan (kaynaktan) soğurulmaya kadar karga-uçuşu mesafesinin ortalama-karesinin altı-da-biridir. Örn. grafit termal L ~ 59 cm.

sembolanlambirim

L

difüzyon uzunluğucm

\langle r^2 \rangle

soğurulmaya kadar ortalama-kare mesafecm^2

Sonsuz Ortamda Nokta Kaynak

(5.6)

\phi(r) = \frac{S_0}{4\pi D r}\,e^{-r/L}

Sonsuz çoğalmayan ortamda S_0 şiddetinde izotropik nokta kaynaktan akı; 1/r geometrik yayılım çarpı üssel soğurma zayıflaması.

sembolanlambirim

S_0

kaynak yayım hızıs^-1

r

kaynaktan uzaklıkcm

L

difüzyon uzunluğucm

Ekstrapole Sınır (Vakum) Koşulu

(5.7)

\phi(\tilde{R}) = 0, \qquad z_0 = 0.7104\,\lambda_{tr}, \qquad \tilde{R} = R + z_0

Serbest-yüzey sınır koşulu: akı, fiziksel yüzeyin z0 mesafesi ötesinde lineer olarak sıfıra ekstrapole olur; tam transport teorisinden (Milne problemi). Büyük sistemler için z0 çoğunlukla ihmal edilir.

sembolanlambirim

z_0

ekstrapolasyon uzunluğucm

\tilde{R}

ekstrapole sınır konumucm

R

fiziksel yüzey konumucm

Arayüz Sürekliliği Koşulları

(5.8)

\phi_1 = \phi_2, \qquad -D_1\,\nabla\phi_1\cdot\hat{n} = -D_2\,\nabla\phi_2\cdot\hat{n}

İki ortam arasındaki bir arayüzde skaler akı ve net akımın normal bileşeni sürekli olmalıdır. Yansıtıcılı/çok-bölgeli reaktörler için esastır.

sembolanlambirim

\phi_1,\phi_2

her iki taraftaki akılarcm^-2 s^-1

D_1,D_2

her taraftaki difüzyon katsayılarıcm

\hat{n}

arayüz normal vektörü–

Tek-Hızlı Reaktör Difüzyon Denklemi

(5.9)

D\nabla^2\phi - \Sigma_a\phi + \nu\Sigma_f\phi = \frac{1}{v}\frac{\partial\phi}{\partial t}

Fisyon kaynağı nu*Sigma_f*phi eklenmiş çıplak homojen reaktör için difüzyon denklemi; zaman-özdeğeri ve kritiklik analizinin temeli.

sembolanlambirim

\nu

fisyon başına yayılan nötron–

\Sigma_f

makroskopik fisyon kesiticm^-1

\Sigma_a

makroskopik soğurma kesiticm^-1

D

difüzyon katsayısıcm

Uzamsal Özdeğer (Helmholtz) Denklemi

(5.10)

\nabla^2\psi_n + B_n^2\,\psi_n = 0

Değişkenlerine ayırma, geometri ve sınır koşullarıyla belirlenen B_n^2 özdeğerlerine (buckling) sahip uzamsal özkipler psi_n verir. Temel kip psi_1 (en küçük B_n^2) kalıcıdır.

sembolanlambirim

\psi_n

n-inci uzamsal özkip–

B_n^2

n-inci buckling özdeğericm^-2

Geometrik Buckling

(5.11)

B_g^2 = -\frac{\nabla^2\psi}{\psi}, \qquad B_{g,\text{slab}}^2 = \left(\frac{\pi}{\tilde{a}}\right)^2

Temel akı kipinin eğriliği; yalnızca çekirdek boyutu ve şekliyle belirlenir. Örnek, ekstrapole genişliği tilde(a) olan çıplak levhayı gösterir. Daha büyük çekirdekler daha küçük B_g^2 gösterir (daha az kaçak).

sembolanlambirim

B_g^2

geometrik bucklingcm^-2

\tilde{a}

ekstrapole levha genişliğicm

\psi

temel akı kipi–

Malzeme Buckling

(5.12)

B_m^2 = \frac{\nu\Sigma_f - \Sigma_a}{D} = \frac{k_\infty - 1}{L^2}

Yalnızca çekirdek malzeme bileşimine bağlıdır. Geometrik buckling ile birlikte kritikliği ifade eder. Pozitif B_m^2 çoğalan bir ortamı gösterir.

sembolanlambirim

B_m^2

malzeme bucklingcm^-2

k_\infty

sonsuz çoğalma faktörü–

L^2

difüzyon alanıcm^2

Kritiklik Koşulu

(5.13)

B_m^2 = B_g^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda_1 = 0

Reaktör, malzeme buckling geometrik bucklinge eşit olduğunda kritiktir, yani temel zaman özdeğeri sıfırlanır. B_m^2 > B_g^2 süper-kritik; B_m^2 < B_g^2 alt-kritiktir.

sembolanlambirim

B_m^2

malzeme bucklingcm^-2

B_g^2

geometrik bucklingcm^-2

\lambda_1

temel zaman özdeğeris^-1

Etkin Çoğalma Faktörü

(5.14)

k = \frac{\nu\Sigma_f/\Sigma_a}{1 + L^2 B_g^2} = \frac{k_\infty}{1 + L^2 B_g^2}

Kaçak dahil nötron üretiminin kayba oranı. 1/(1+L^2 B_g^2) faktörü tek-hızlı kaçmama olasılığı P_NL'dir. Kritiklik k = 1'dir.

sembolanlambirim

k

etkin çoğalma faktörü–

k_\infty

sonsuz çoğalma faktörü nu*Sigma_f/Sigma_a–

L^2 B_g^2

boyutsuz kaçak parametresi–

Kaçmama Olasılığı

(5.15)

P_{NL} = \frac{1}{1 + L^2 B_g^2}

Bir nötronun soğurulmadan önce reaktörden kaçmama olasılığı; büyük çekirdekler için (küçük buckling) 1'e yaklaşır ve boyut küçüldükçe azalır.

sembolanlambirim

P_{NL}

kaçmama olasılığı–

L^2

difüzyon alanıcm^2

B_g^2

geometrik bucklingcm^-2

Sonlu-Fark Difüzyon Operatörü (1B)

(5.16)

-D\,\frac{\phi_{i+1} - 2\phi_i + \phi_{i-1}}{\Delta x^2} + \Sigma_a\,\phi_i = S_i

Difüzyon operatörünün düzgün mesh üzerinde üç-noktalı merkezi-fark ayrıklaştırması; kritiklik kodlarının iç iterasyonlarında çözülen üçgensel M*phi = S matrisini üretir.

sembolanlambirim

\phi_i

mesh düğümü i'deki akıcm^-2 s^-1

\Delta x

mesh aralamasıcm

S_i

düğüm i'deki kaynakcm^-3 s^-1

Güç (Kaynak) İterasyonu

(5.17)

\mathbf{M}\,\phi^{(n+1)} = \frac{1}{k^{(n)}}\,\mathbf{F}\,\phi^{(n)}, \qquad k^{(n+1)} = k^{(n)}\frac{\langle \mathbf{F}\phi^{(n+1)}\rangle}{\langle \mathbf{F}\phi^{(n)}\rangle}

Ayrıklaştırılmış kritiklik probleminin en büyük k-özdeğeri ve temel akısına yakınsayan dış-iterasyon şeması; kaynağın 1/k ile ölçeklenmesi taşma/eksik-taşmayı önler. Difüzyon kodlarının algoritmik çekirdeği.

sembolanlambirim

\mathbf{M}

ayrıklaştırılmış yok-etme/difüzyon operatörü–

\mathbf{F}

fisyon üretim operatörü–

k^{(n)}

n iterasyonundaki çoğalma tahmini–

\phi^{(n)}

akı iteraticm^-2 s^-1

Eşlenik Kritiklik Problemi

(5.18)

\mathbf{M}^{\dagger}\phi^{\dagger} = \frac{1}{k}\,\mathbf{F}^{\dagger}\phi^{\dagger}

Eşlenik akıyı phi-dagger (nötron önem fonksiyonu) tanımlar. Öz-eşlenik tek-hızlı difüzyon operatörü için phi-dagger = phi olur ve bu pertürbasyon sonuçlarını basitleştirir.

sembolanlambirim

\phi^{\dagger}

eşlenik akı (önem)–

\mathbf{M}^{\dagger}

eşlenik yok-etme operatörü–

\mathbf{F}^{\dagger}

eşlenik üretim operatörü–

Birinci-Mertebe Pertürbasyon Reaktivitesi

(5.19)

\Delta\rho = -\frac{\langle \phi^{\dagger}, \delta\mathbf{M}\,\phi\rangle}{\langle \phi^{\dagger}, \mathbf{F}\,\phi\rangle} \;\xrightarrow{\text{self-adjoint}}\; -\frac{\int \phi^2(\mathbf{r})\,\delta\Sigma_a(\mathbf{r})\,d^3r}{\int \nu\Sigma_f\,\phi^2(\mathbf{r})\,d^3r}

Küçük bir pertürbasyondan kaynaklanan reaktivite değişimi, pertürbe edilmemiş (eşlenik) akı ile hesaplanır. Tek-hızlı difüzyonda soğurma pertürbasyonunun akı-karesi-ağırlıklı integrali olur; kontrol çubuğu değerinin temeli.

sembolanlambirim

\Delta\rho

reaktivite değişimi–

\delta\Sigma_a

soğurma kesiti pertürbasyonucm^-1

\phi

pertürbe edilmemiş akıcm^-2 s^-1

\nu\Sigma_f

fisyon üretim kesiticm^-1

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Her fisyon, yeni fisyonları tetikleyebilecek nötronlar salar. Çoğaltma faktörü popülasyonun büyüyeceğini, sabit mi kalacağını yoksa söneceğini mi belirler. Kontrol çubuklarını sokup çıkarmak için kaydırıcıyı sürükleyin ve nötron popülasyonunun tepkisini izleyin.

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

1B Kritiklik Araması ve Akı Profili

Öğrenci, çıplak veya yansıtıcılı levha/silindir/küre çekirdeğini (boyut, D, Sigma_a, nu*Sigma_f) yapılandırır ve çözücünün sonlu-fark + güç iterasyonu ile k_eff'i ve temel akı şeklini hesaplamasını izler. Kritik boyutu (k = 1) bulmak için çekirdek boyutunu tarar; kaçmama olasılığı ve buckling canlı güncellenir, renk kodlu alt-kritik/kritik/süper-kritik göstergesiyle.

GİRDİLER

Geometry selector (slab / cylinder / sphere) · Core half-width / radius a (1-200 cm) · Diffusion coefficient D (0.1-5 cm) · Absorption cross section Sigma_a (0.001-1 cm^-1) · Production nu*Sigma_f (0.001-1.5 cm^-1) · Mesh points N (50-2000) · Optional reflector thickness and D_R, L_R

ÇIKTILAR

k_eff readout with convergence history · Fundamental flux profile phi(x) plot (normalized) · Geometric vs material buckling bars · Non-leakage probability gauge · Critical-size indicator (subcritical/critical/supercritical)

YÖNTEMThree-point central finite differences for D*lap - Sigma_a producing a tridiagonal/banded matrix; Thomas algorithm (or sparse solve) for inner iterations; power (source) iteration for the dominant k-eigenvalue with source-scaling by 1/k and optional Chebyshev/source extrapolation acceleration.

KOD KANCASIÖğrenci artık/iterasyon çekirdeğini düzenler: düğüm-başına sonlu-fark şablonunu ve güç-iterasyonu güncellemesini (M*phi = (1/k)*F*phi, ardından k-güncellemesi) uygular. Rust/WASM fonksiyonları her dış iterasyonda çağrılır; doğru uygulama k_eff'in yakınsamasını ve akının düzgün temel kipe gevşemesini sağlar; hatalar ekranda ıraksama, salınım veya yanlış kritik boyut olarak görülür.

Konsola Gir: diffusion →

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Pertürbasyon Teorisi ile Kontrol Çubuğu Değeri

Öğrenci, kritik bir levhaya yerel bir soğurucu (bir bölge üzerinde delta-Sigma_a, bir kontrol bankasını modelleyen) yerleştirir ve tam yeniden-çözülen reaktiviteyi birinci-mertebe pertürbasyon tahmini Delta-rho = -(phi^2-ağırlıklı integral) ile karşılaştırır. Sokma derinliği h sürükleyerek integral ve diferansiyel değer eğrilerinin çizilmesini izler; diferansiyel değerin pertürbe edilmemiş akının en büyük olduğu yerde zirve yaptığını gözlemler.

GİRDİLER

Insertion depth h (0 to core width, cm) · Absorber strength delta-Sigma_a (0.0001-0.05 cm^-1) · Base core parameters D, Sigma_a, nu*Sigma_f · Toggle: exact re-solve vs first-order PT overlay

ÇIKTILAR

Integral rod worth rho(h) curve · Differential worth d-rho/dh curve · Overlay of exact vs perturbation estimate with error band · Perturbed vs unperturbed flux shape

YÖNTEMSolve the unperturbed critical eigenproblem once for phi (= adjoint, self-adjoint case); evaluate the first-order reactivity integral by quadrature over the inserted region; optionally re-solve the perturbed eigenproblem to quantify perturbation-theory error as delta-Sigma_a grows.

KOD KANCASIÖğrenci reaktivite fonksiyonelini yazar: phi ve delta-Sigma_a(x) alıp sayısal integrasyonla Delta-rho döndürüren bir Rust/WASM rutini. Doğru uygulama küçük pertürbasyonlar için değer eğrisine tam oturur ve soğurucu güçlendikçe gözle görünür şekilde sapar; bu, birinci-mertebe teorinin geçerlilik sınırlarını öğretir.

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Nokta/Düzlem Kaynak Difüzyon Alanı

Öğrenci, çoğalmayan bir ortama izotropik bir kaynak yerleştirir ve kararlı-durum akı alanını görselleştirir; exp(-r/L)/r (nokta) veya exp(-x/L) (düzlem) azalmasını doğrular. D ve Sigma_a ayarlayarak difüzyon uzunluğu L = sqrt(D/Sigma_a)'nın nüfuz derinliğini nasıl belirlediğini görür ve zırhlama sezgisi oluşturur.

GİRDİLER

Source type (point / plane) · Source strength S0 · Diffusion coefficient D (0.1-5 cm) · Absorption Sigma_a (0.001-1 cm^-1) · Domain size and mesh resolution

ÇIKTILAR

2D/3D flux heatmap or radial line plot · Computed diffusion length L readout · Log-scale attenuation curve with fitted slope -1/L

YÖNTEMSolve lap(phi) - phi/L^2 = -S/D with a finite-difference Laplacian and direct/sparse solve; compare numerical solution to the closed-form analytic Green's function for verification.

KOD KANCASIÖğrenci analitik Green-fonksiyonu değerlendiricisini ve/veya FD montajını uygular; kodları işlenen alanı sürer. Analitik exp(-r/L)/r kaplamasıyla eşleşme doğruluğu teyit eder ve uydurulmuş log-eğimi, kodladıkları difüzyon uzunluğunu geri okur.

Sayısal veriler

Extrapolation length coefficientz0 = 0.7104 lambda_trDüzlemsel serbest yüzey için tam transport (Milne) teorisinden.

Diffusion coefficient formD = 1/(3 Sigma_tr) = lambda_tr/3Difüzyon, uzun transport serbest yoluna sahip malzemelerde artar.

Thermal diffusion length, graphiteL ~ 59 cmBüyük L, termal nötronların soğurulmadan önce uzağa gittiğini gösterir (iyi yavaşlatıcı).

Thermal diffusion length, light waterL ~ 2.7 cmGüçlü soğurma kısa difüzyon uzunluğu verir; kompakt çekirdekler.

Slab geometric bucklingB_g^2 = (pi/a~)^2a~, çıplak levhanın ekstrapole tam genişliğidir.

Sphere geometric bucklingB_g^2 = (pi/R~)^2R~ ekstrapole yarıçap; temel akı sin(pi r/R~)/r.

Finite cylinder geometric bucklingB_g^2 = (2.405/R~)^2 + (pi/H~)^22.405, J0 Bessel fonksiyonunun ilk sıfırıdır; akı J0(2.405 r/R~) cos(pi z/H~).

Example material buckling (Duderstadt 5.x)B_m^2 = 4.13e-4 cm^-2D = 9.21 cm ile çalışılmış termal-reaktör örneği.

YAZILIM NOTU

Bu bölüm, reaktör fiziğinin hesaplamalı hale geldiği yerdir. Öğrenciler, difüzyon operatörünü D*lap - Sigma_a üç-noktalı merkezi sonlu farklar kullanarak 1B/2B mesh üzerinde ayrıklaştırmayı, seyrek (1B'de üçgensel, 2B'de bantlı) bir M matrisi oluşturmayı öğrenir. Lineer iç problemi Thomas algoritması veya seyrek Gauss eliminasyonuyla çözer, ardından baskın k-özdeğerini ve temel akıyı çıkarmak için güç (kaynak) iterasyonuyla sarar; bu, gerçek difüzyon kodlarının kalbindeki algoritmadır. Taşmayı önlemek için 1/k ile kaynak ölçeklemesini uygular ve iterasyon sayısını azaltmak için kaynak-ekstrapolasyon / Chebyshev hızlandırması ekler. Kritiklik-arama döngüsü (k = 1 olana kadar boyut veya bileşimi ayarlama), özçözücü üzerinde kök-bulma (ikiye-bölme/Newton) öğretir. Pertürbasyon teorisi, eşlenik akıyı ve önem ağırlıklamasını tanıtır; sayısal kuadratür ile değerlendirilen bir reaktivite fonksiyoneli olarak uygulanır; bu, kontrol-çubuğu-değeri ve reaktivite-katsayısı araçlarının çekirdeğidir. Bunlar CITATION, PDQ, DIF3D gibi üretim kodlarının ve modern paketlerin içindeki difüzyon çözücülerin doğrudan atalarıdır. Bu platformda öğrenciler performans-kritik çekirdekleri WebAssembly'ye derlenen Rust ile yazar, TypeScript/React arayüzüyle yönetir; sayısal kararlılık, mesh yakınsaması ve etkileşimli simülasyonda doğruluk-hız ödünleşmesini öğrenir.

ALGORİTMALAR

Finite-difference discretizationThomas algorithm (tridiagonal solve)Power (source) iterationSource/Chebyshev extrapolation accelerationCriticality search (bisection/Newton root-finding)First-order perturbation reactivity quadratureGreen's function evaluation

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

Pratiğe dökün

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Nötron Taşınımı

Nükleer Reaktör Kinetiği

Ders 5 / 15Orta~40 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Tek-Hızlı Difüzyon Teorisi Modeli

Tek-Hızlı Difüzyon Denklemi

neutron balanceFick's lawnet currentdiffusion coefficienttransport mean free pathdiffusion approximationP1 approximation

Çoğalmayan Ortamlarda Nötron Difüzyonu

diffusion lengthpoint sourceexponential attenuationboundary conditionsinterface conditionsextrapolation lengthvacuum boundaryMarshak condition

Bir Nükleer Reaktörün Tek-Hızlı Difüzyon Modeli

fission sourcehomogeneous eigenvalue problemtime eigenvaluesgeometric bucklingfundamental modeHelmholtz equationflux profiles

Reaktör Kritiklik Hesapları

Pertürbasyon Teorisi

adjoint fluximportance functionfirst-order perturbation theoryreactivityself-adjoint operatorcontrol-rod worthdifferential worthreactivity coefficientinner product

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (19)

Bu denklemi çalıştır: 1B Kritiklik Araması ve Akı Profili →

Nötron Akımı için Fick Yasası

(5.1)

\mathbf{J}(\mathbf{r}) = -D\,\nabla\phi(\mathbf{r})

sembolanlambirim

\mathbf{J}

net nötron akım yoğunluğucm^-2 s^-1

D

difüzyon katsayısıcm

\phi

skaler nötron akısıcm^-2 s^-1

Difüzyon Katsayısı

(5.2)

D = \frac{1}{3\Sigma_{tr}} = \frac{\lambda_{tr}}{3} = \frac{1}{3(\Sigma_t - \bar{\mu}_0\Sigma_s)}

Difüzyon katsayısını transport kesitinden tanımlar; anizotropi düzeltmesi bar(mu_0) = 2/(3A) ile. Daha büyük transport serbest yolu daha hızlı difüzyon demektir.

sembolanlambirim

\Sigma_{tr}

makroskopik transport kesiticm^-1

\lambda_{tr}

transport serbest yolucm

\bar{\mu}_0

saçılım açısının ortalama kosinüsü–

\Sigma_s

makroskopik saçılım kesiticm^-1

Zamana Bağlı Tek-Hızlı Difüzyon Denklemi

(5.3)

\frac{1}{v}\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\nabla^2\phi - \Sigma_a\phi + S

Genel tek-hızlı nötron dengesi: depolama, kaçağa (D*lap) eksi soğurma artı kaynağa eşittir. Bölüm boyunca özelleştirilen ana denklem.

sembolanlambirim

v

nötron hızıcm s^-1

\Sigma_a

makroskopik soğurma kesiticm^-1

S

nötron kaynak yoğunluğucm^-3 s^-1

\nabla^2\phi

akının Laplasyeni (eğrilik)cm^-4 s^-1

Çoğalmayan Ortamda Kararlı-Durum Difüzyonu

(5.4)

\nabla^2\phi - \frac{1}{L^2}\phi = -\frac{S}{D}

Fisyonun olmadığı (zırhlama, kaynak problemleri) kaynak-sürümlü akıyı yöneten Helmholtz tipi denklem. Çözümler difüzyon uzunluğu L ölçeğinde azalır.

sembolanlambirim

L

difüzyon uzunluğucm

\phi

nötron akısıcm^-2 s^-1

S

kaynak yoğunluğucm^-3 s^-1

D

difüzyon katsayısıcm

Difüzyon Uzunluğu

(5.5)

L = \sqrt{\frac{D}{\Sigma_a}}, \qquad L^2 = \frac{1}{6}\langle r^2 \rangle

Nötron akısının karakteristik zayıflama uzunluğu; L^2, doğuştan (kaynaktan) soğurulmaya kadar karga-uçuşu mesafesinin ortalama-karesinin altı-da-biridir. Örn. grafit termal L ~ 59 cm.

sembolanlambirim

L

difüzyon uzunluğucm

\langle r^2 \rangle

soğurulmaya kadar ortalama-kare mesafecm^2

Sonsuz Ortamda Nokta Kaynak

(5.6)

\phi(r) = \frac{S_0}{4\pi D r}\,e^{-r/L}

Sonsuz çoğalmayan ortamda S_0 şiddetinde izotropik nokta kaynaktan akı; 1/r geometrik yayılım çarpı üssel soğurma zayıflaması.

sembolanlambirim

S_0

kaynak yayım hızıs^-1

r

kaynaktan uzaklıkcm

L

difüzyon uzunluğucm

Ekstrapole Sınır (Vakum) Koşulu

(5.7)

\phi(\tilde{R}) = 0, \qquad z_0 = 0.7104\,\lambda_{tr}, \qquad \tilde{R} = R + z_0

sembolanlambirim

z_0

ekstrapolasyon uzunluğucm

\tilde{R}

ekstrapole sınır konumucm

R

fiziksel yüzey konumucm

Arayüz Sürekliliği Koşulları

(5.8)

\phi_1 = \phi_2, \qquad -D_1\,\nabla\phi_1\cdot\hat{n} = -D_2\,\nabla\phi_2\cdot\hat{n}

İki ortam arasındaki bir arayüzde skaler akı ve net akımın normal bileşeni sürekli olmalıdır. Yansıtıcılı/çok-bölgeli reaktörler için esastır.

sembolanlambirim

\phi_1,\phi_2

her iki taraftaki akılarcm^-2 s^-1

D_1,D_2

her taraftaki difüzyon katsayılarıcm

\hat{n}

arayüz normal vektörü–

Tek-Hızlı Reaktör Difüzyon Denklemi

(5.9)

D\nabla^2\phi - \Sigma_a\phi + \nu\Sigma_f\phi = \frac{1}{v}\frac{\partial\phi}{\partial t}

Fisyon kaynağı nu*Sigma_f*phi eklenmiş çıplak homojen reaktör için difüzyon denklemi; zaman-özdeğeri ve kritiklik analizinin temeli.

sembolanlambirim

\nu

fisyon başına yayılan nötron–

\Sigma_f

makroskopik fisyon kesiticm^-1

\Sigma_a

makroskopik soğurma kesiticm^-1

D

difüzyon katsayısıcm

Uzamsal Özdeğer (Helmholtz) Denklemi

(5.10)

\nabla^2\psi_n + B_n^2\,\psi_n = 0

Değişkenlerine ayırma, geometri ve sınır koşullarıyla belirlenen B_n^2 özdeğerlerine (buckling) sahip uzamsal özkipler psi_n verir. Temel kip psi_1 (en küçük B_n^2) kalıcıdır.

sembolanlambirim

\psi_n

n-inci uzamsal özkip–

B_n^2

n-inci buckling özdeğericm^-2

Geometrik Buckling

(5.11)

B_g^2 = -\frac{\nabla^2\psi}{\psi}, \qquad B_{g,\text{slab}}^2 = \left(\frac{\pi}{\tilde{a}}\right)^2

sembolanlambirim

B_g^2

geometrik bucklingcm^-2

\tilde{a}

ekstrapole levha genişliğicm

\psi

temel akı kipi–

Malzeme Buckling

(5.12)

B_m^2 = \frac{\nu\Sigma_f - \Sigma_a}{D} = \frac{k_\infty - 1}{L^2}

Yalnızca çekirdek malzeme bileşimine bağlıdır. Geometrik buckling ile birlikte kritikliği ifade eder. Pozitif B_m^2 çoğalan bir ortamı gösterir.

sembolanlambirim

B_m^2

malzeme bucklingcm^-2

k_\infty

sonsuz çoğalma faktörü–

L^2

difüzyon alanıcm^2

Kritiklik Koşulu

(5.13)

B_m^2 = B_g^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda_1 = 0

Reaktör, malzeme buckling geometrik bucklinge eşit olduğunda kritiktir, yani temel zaman özdeğeri sıfırlanır. B_m^2 > B_g^2 süper-kritik; B_m^2 < B_g^2 alt-kritiktir.

sembolanlambirim

B_m^2

malzeme bucklingcm^-2

B_g^2

geometrik bucklingcm^-2

\lambda_1

temel zaman özdeğeris^-1

Etkin Çoğalma Faktörü

(5.14)

k = \frac{\nu\Sigma_f/\Sigma_a}{1 + L^2 B_g^2} = \frac{k_\infty}{1 + L^2 B_g^2}

Kaçak dahil nötron üretiminin kayba oranı. 1/(1+L^2 B_g^2) faktörü tek-hızlı kaçmama olasılığı P_NL'dir. Kritiklik k = 1'dir.

sembolanlambirim

k

etkin çoğalma faktörü–

k_\infty

sonsuz çoğalma faktörü nu*Sigma_f/Sigma_a–

L^2 B_g^2

boyutsuz kaçak parametresi–

Kaçmama Olasılığı

(5.15)

P_{NL} = \frac{1}{1 + L^2 B_g^2}

Bir nötronun soğurulmadan önce reaktörden kaçmama olasılığı; büyük çekirdekler için (küçük buckling) 1'e yaklaşır ve boyut küçüldükçe azalır.

sembolanlambirim

P_{NL}

kaçmama olasılığı–

L^2

difüzyon alanıcm^2

B_g^2

geometrik bucklingcm^-2

Sonlu-Fark Difüzyon Operatörü (1B)

(5.16)

-D\,\frac{\phi_{i+1} - 2\phi_i + \phi_{i-1}}{\Delta x^2} + \Sigma_a\,\phi_i = S_i

Difüzyon operatörünün düzgün mesh üzerinde üç-noktalı merkezi-fark ayrıklaştırması; kritiklik kodlarının iç iterasyonlarında çözülen üçgensel M*phi = S matrisini üretir.

sembolanlambirim

\phi_i

mesh düğümü i'deki akıcm^-2 s^-1

\Delta x

mesh aralamasıcm

S_i

düğüm i'deki kaynakcm^-3 s^-1

Güç (Kaynak) İterasyonu

(5.17)

\mathbf{M}\,\phi^{(n+1)} = \frac{1}{k^{(n)}}\,\mathbf{F}\,\phi^{(n)}, \qquad k^{(n+1)} = k^{(n)}\frac{\langle \mathbf{F}\phi^{(n+1)}\rangle}{\langle \mathbf{F}\phi^{(n)}\rangle}

sembolanlambirim

\mathbf{M}

ayrıklaştırılmış yok-etme/difüzyon operatörü–

\mathbf{F}

fisyon üretim operatörü–

k^{(n)}

n iterasyonundaki çoğalma tahmini–

\phi^{(n)}

akı iteraticm^-2 s^-1

Eşlenik Kritiklik Problemi

(5.18)

\mathbf{M}^{\dagger}\phi^{\dagger} = \frac{1}{k}\,\mathbf{F}^{\dagger}\phi^{\dagger}

Eşlenik akıyı phi-dagger (nötron önem fonksiyonu) tanımlar. Öz-eşlenik tek-hızlı difüzyon operatörü için phi-dagger = phi olur ve bu pertürbasyon sonuçlarını basitleştirir.

sembolanlambirim

\phi^{\dagger}

eşlenik akı (önem)–

\mathbf{M}^{\dagger}

eşlenik yok-etme operatörü–

\mathbf{F}^{\dagger}

eşlenik üretim operatörü–

Birinci-Mertebe Pertürbasyon Reaktivitesi

(5.19)

\Delta\rho = -\frac{\langle \phi^{\dagger}, \delta\mathbf{M}\,\phi\rangle}{\langle \phi^{\dagger}, \mathbf{F}\,\phi\rangle} \;\xrightarrow{\text{self-adjoint}}\; -\frac{\int \phi^2(\mathbf{r})\,\delta\Sigma_a(\mathbf{r})\,d^3r}{\int \nu\Sigma_f\,\phi^2(\mathbf{r})\,d^3r}

sembolanlambirim

\Delta\rho

reaktivite değişimi–

\delta\Sigma_a

soğurma kesiti pertürbasyonucm^-1

\phi

pertürbe edilmemiş akıcm^-2 s^-1

\nu\Sigma_f

fisyon üretim kesiticm^-1

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.