Ders 6 / 15İleri~40 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Nükleer Reaktör Kinetiği

Bu bölüm, bir nükleer reaktörün zamana bağlı davranışının teorisini geliştirir: çoğaltma faktörü kritiklikten saptırıldığında nötron popülasyonunun ve güç seviyesinin nasıl evrildiğini inceler. Tek-hızlı zamana bağlı difüzyon denkleminden yola çıkan yazarlar, yüksek mertebeli uzaysal modların son derece hızlı söndüğünü ve böylece akının sabit bir temel mod şekli ile tek bir zamana bağlı genlik çarpımı olarak yazıldığı uzay-zaman ayrılabilir (toplu-parametre) bir tanımın gerekçelendirildiğini gösterir. Kritik fiziksel bileşen, fisyon ürünü öncüller tarafından yayılan küçük gecikmeli nötron fraksiyonudur (U-235 için β ≈ 0.0065); bu fraksiyon etkin nötron ömrünü mertebelerce uzatarak reaktörü kontrol edilebilir kılar. Genlik denklemi altı öncül denge denklemiyle birleştirildiğinde, temel parametreleri reaktivite ρ, ortalama üreme zamanı Λ ve etkin gecikmeli fraksiyon β olan sert (stiff) ve eşleşik bir sistem olan nokta reaktör kinetiği denklemleri elde edilir. Bölüm bu denklemleri basamak ve rampa reaktivite eklemeleri için çözer, periyot ile reaktiviteyi ilişkilendiren inhour denklemini türetir, hızlı-sıçrama (prompt-jump) yaklaşımını ve hızlı-kritik koşulunu (ρ = β = bir dolar) tanıtır ve kararlılık analizi için doğrusallaştırılmış sıfır-güç transfer fonksiyonunu geliştirir. Ardından reaktivite geri beslemesini — sıcaklık ve güç katsayılarını — dahil ederek denklemleri doğrusal-olmayan hale getirir ve reaktörün doğal kararlılığını yöneten kapalı-çevrim transfer fonksiyonunu verir. ρ, β ve Λ ölçümü için deneysel yöntemler (ters çoğaltma, çubuk düşürme, kaynak çekme, çubuk osilatörü, darbeli-nötron, gürültü analizi) gözden geçirilir. Son olarak nokta modelinin sınırları ortaya konur ve gevşek eşleşik çekirdekler ve çubuk fırlatması gibi hızlı yerel geçişler için uzaysal (uzay-zaman) kinetik yöntemleri — doğrudan sonlu-fark, düğümsel (nodal), yarı-statik ve modal/sentez yaklaşımları — tanıtılır. Bu içerik reaktör güvenliği, kontrolü ve geçici analiz için temel oluşturur.

Nokta Reaktör Kinetiği Modeli

Tek-hızlı zamana bağlı difüzyon denkleminin modal çözümünden başlayan bu bölüm, yüksek mertebeli uzaysal özmodların 100–1000 s⁻¹ zaman sabitleriyle söndüğünü ve milisaniyeler içinde kaybolduğunu gösterir; bu da uzay-zaman ayrılabilir akı φ(r,t) = ψ₁(r)·n(t) yazımını gerekçelendirir. Genlik n(t), hızlı nötron ömrü ℓ ve çoğaltma faktörü k ile yönetilen tek bir adi diferansiyel denkleme uyar. Kritik biçimde, fisyon nötronlarının β ≈ %0.7'lik bir fraksiyonu gecikmelidir ve β-bozunan öncüller tarafından yayılır. Altı kurgusal öncül konsantrasyonu Cᵢ açıkça ele alınarak, nokta reaktör kinetiği denklemleri türetilir: n(t) (veya güç P(t)) ve Cᵢ(t) için yedi eşleşik adi diferansiyel denklem. İki temel tanım tanıtılır: ortalama üreme zamanı Λ = ℓ/k ve reaktivite ρ = (k−1)/k. Model bir toplu-parametre yaklaşımıdır: reaktörü tam anlamıyla bir nokta olarak ele almaz, ancak uzaysal şeklin donmuş olduğunu varsayar. Sınırlamalar (β'yı β_eff'e değiştiren enerji etkileri, adiabatik yaklaşımla yavaşça değişen şekil ve hızlı yerel geçişlerde modelin çökmesi) tartışılır; ayrıca ρ(t)'nin önceden verildiği ve denklemlerin doğrusal olduğu sıfır-güç modeli ele alınır.

delayed neutronsprecursor concentrationprompt neutron lifetimemean generation time Λreactivity ρspace-time separabilitylumped-parameter modeleffective delayed fraction β_effzero-power model

Nokta Reaktör Kinetiği Denklemlerinin Çözümü

Bu bölüm doğrusal (verilen-ρ) nokta kinetiği denklemlerini çözer. Tek bir etkin gecikmeli grup ve basamak reaktivite ρ₀ için, üstel deneme çözümleri iki köklü bir karakteristik ikinci derece denklem verir: hızlı bir prompt-jump geçişi (s₁) ve yavaş asimptotik 'kararlı periyot' (s₂). Pozitif ρ₀ için güç, ani bir sıçramanın ardından kararlı periyotta üstel büyüme gösterir. Altı gruba genelleme inhour denklemini verir — en büyük kökü s₀ = 1/T olan ve reaktör periyodunu tanımlayan yedinci dereceden bir polinom; yalnızca bu kök pozitif olabilir. Sınır durumları incelenir: küçük reaktiviteler T ≈ ⟨ℓ⟩/ρ₀ verir (gecikmeli-nötron kontrollü); büyük pozitif ρ₀ T ≈ ℓ/(ρ₀−β) verir (hızlı kontrollü); ve hızlı-kritik noktası ρ₀ = β = bir dolar, reaktörün yalnızca hızlı nötronlarla kritik olduğu geçişi işaretler — kaçınılması gereken bir koşul. ρ₀ ne kadar negatif olursa olsun, kapatma T = 1/λ₁ (≈ 80 s) hızından daha hızlı olamaz. Ayrıca prompt-jump yaklaşımı (dP/dt ihmali) ve sıfır-güç transfer fonksiyonu Z(s) ile frekans yanıtına yol açan doğrusallaştırılmış küçük-genlik yaklaşımı geliştirilir.

inhour equationstable reactor periodstep reactivity insertionprompt jump approximationprompt criticaldollar / cent unitscharacteristic rootszero-power transfer functionramp insertionLaplace transform

Reaktivite Geri Beslemesi ve Reaktör Dinamiği

Çalışan bir reaktörde reaktivite dışarıdan verilmez: sıcaklık aracılığıyla güç seviyesine bağlıdır; sıcaklık ise atomik yoğunlukları ve tesir kesitlerini değiştirir. Bu bölüm reaktiviteyi dışarıdan kontrol edilen bir parça δρ_ext(t) ve bir geri besleme fonksiyoneli δρ_f[P] olarak ayırır; bu da kinetik denklemleri doğrusal-olmayan hale getirir. Sıcaklık geri beslemesi, ortalama yakıt ve moderatör sıcaklıkları ile karakterize edilen toplu-parametre ısıl tanımıyla ve reaktivitenin sıcaklık katsayısı α_T = dρ/dT ile modellenir (tercihen hızlı Doppler ve gecikmeli moderatör bileşenlerine ayrılır). Negatif bir α_T, reaktörün doğal kısa-vadeli kararlılığını sağlar. Sıcaklıklar için enerji-denge denklemleri eklendiğinde eşleşik doğrusal-olmayan reaktör dinamiği sistemi elde edilir. Küçük bozunumlar için geri besleme, bir geri besleme transfer fonksiyonu H(s) olarak doğrusallaştırılır ve sıfır-güç transfer fonksiyonu Z(s) ile birleştirilerek kapalı-çevrim transfer fonksiyonu L(s) = Z(s)/[1 − P₀H(s)Z(s)] oluşturulur. Ölçülen kapalı-çevrim kazancındaki rezonans tepeleri, yüksek güçte başlayan kararsızlığı açığa çıkarır. Bölüm reaktör kararlılık analizinin temellerini kurar ve geri beslemenin bir basamak ekleme sonrası sistemi yeni bir dengeye nasıl sürüklediğini gösterir.

temperature coefficient of reactivityDoppler effectpower defectpower coefficientclosed-loop transfer functionfeedback kernel h(t)reactor stabilityFuchs–Nordheim modellumped thermal modelnonlinear dynamics

Reaktör Kinetik Parametrelerinin Deneysel Belirlenmesi

Reaktivite ρ, üreme zamanı Λ ve etkin gecikmeli fraksiyon β ölçülmelidir. Statik teknikler arasında, ters-altkritik sayım hızı M⁻¹ = (1−k)'nin yakıt kütlesine karşı çizilip kritiğe güvenli yaklaşım için sıfıra ekstrapole edildiği ters-çoğaltma (1/M) yöntemi ve birinci-mertebe pertürbasyon teorisini kullanan yakıt-ikamesi/zehir yöntemleri bulunur. Dinamik teknikler şunları içerir: asimptotik-periyot ölçümü, kararlı periyodun inhour denklemiyle reaktiviteye dönüştürüldüğü (yalnızca pozitif periyotlar); prompt-jump oranı P₁/P₀ = β/(β+δρ)'yi kullanarak ekstrapole edilmiş güç seviyelerinden negatif değeri çıkaran çubuk-düşürme yöntemi; kavramsal olarak özdeş olan ancak altkritik düzenekten yalnızca bir kaynağı çıkaran kaynak-çekme yöntemi; reaktör transfer fonksiyonunun kazanç ve fazını ölçen ve yüksek frekansta Λ veya çubuk değerini veren çubuk-osilatörü (pile-oscillator) yöntemi; hızlı bozunma sabiti α = v(Σ_a − νΣ_f) + vDB²'nin buckling'e karşı ölçülerek Σ_a, D'nin çıkarıldığı ve gecikmeli-kritikte α = β/Λ olan darbeli-nötron yöntemleri; ve istatistiksel dalgalanmaları (Rossi-α, Feynman-α) kullanarak pasif çalışmada bile α/β ve hızlı bozunmayı ölçen reaktör gürültü analizi.

reciprocal multiplication (1/M)rod drop methodsource jerk methodrod oscillatorpulsed neutron methodRossi-α / Feynman-αsubcritical multiplicationasymptotic period methodperturbation theory worthreactor noise analysis

Reaktör Kinetiğinde Uzaysal Etkiler

Akı şeklinin kendisi hızla değiştiğinde nokta reaktör modeli başarısız olur. Büyük modern çekirdekler (yaklaşık 200 difüzyon boyu çapa kadar) gevşek eşleşiktir; bu nedenle bir noktadaki bozunum başka yerde ancak bir yayılma gecikmesinden sonra hissedilir; bu da güç eğilmelerine (tilts) ve yüksek frekanslarda uzaya bağlı, frekansa bağlı bir transfer fonksiyonu Z(iω; r,r′)'ye yol açar. Akı, etkin ömür ⟨ℓ⟩ zaman ölçeğinde değiştiğinde — örneğin, güçlü bir yerel bozunumun ψ₁(r)'yi kötü biçimde bozduğu güvenlik-kritik çubuk-fırlatması kazasında — nokta modeli şüpheli hale gelir. Kesin çözüm, geçici termal-hidrolikle eşleşik zamana bağlı çok-gruplu difüzyon (ve öncül) denklemlerinin doğrudan sayısal çözümüdür — doğru ancak pahalı, hızlandırma teknikleri gerektirir. Daha az maliyetli alternatifler gözden geçirilir: çekirdeği ampirik olarak uydurulmuş eşleşme katsayıları olan eşleşik bölgelere ayıran düğümsel (nodal) yöntemler; ρ, β, Λ'yı güncellemek için bir nokta-kinetiği çerçevesi içinde statik şekli periyodik olarak yeniden hesaplayan yarı-statik yöntemler; ve φ(r,t)'yi sonlu bir deneme fonksiyonu kümesinde açan ve zamana bağlı açılım katsayıları için adi diferansiyel denklemler elde etmek üzere ağırlıklı-kalıntı veya varyasyonel izdüşümler kullanan modal/akı-sentezi yöntemleri. Adiabatik yaklaşım yavaş şekil değişikliklerini (tükenme, zehirlenme) ele alır.

space-time kineticsloose spatial couplingrod ejection accidentflux tiltnodal methodsquasistatic methodmodal / flux synthesisadiabatic approximationtime-dependent multigroup diffusionspatially dependent transfer function

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (17)

Bu denklemi çalıştır: Etkileşimli Nokta Kinetiği Çözücü →

Zamana bağlı akının modal açılımı

(6.1)

\phi(\mathbf{r},t) = \sum_{n} A_n\, e^{-\lambda_n t}\, \psi_n(\mathbf{r}), \qquad \lambda_n = vD B_n^2 + v\Sigma_a - v\nu\Sigma_f

Tek-hızlı difüzyon denkleminin, üstel zaman özdeğerleri λₙ'li uzaysal özmodlar ψₙ'in süperpozisyonu olarak değişkenlerine ayrılmış çözümü. Yüksek modlar en hızlı söner ve bu, temel-mod (nokta-kinetiği) indirgemesini gerekçelendirir.

sembolanlambirim

\phi(\mathbf{r},t)

nötron akısı1/(cm^2·s)

\psi_n

uzaysal özfonksiyon (Helmholtz modu)–

\lambda_n

n modunun zaman özdeğeri1/s

B_n^2

n modunun geometrik buckling'i1/cm^2

v

nötron hızıcm/s

D

difüzyon katsayısıcm

Hızlı nötron ömrü ve çoğaltma faktörü

(6.2)

\ell = \frac{1}{v\Sigma_a\left(1 + L^2 B^2\right)}, \qquad k = \frac{v\nu\Sigma_f/\Sigma_a}{1 + L^2 B^2}

Çıplak, düzgün bir reaktörün ortalama hızlı nötron ömrü ℓ (doğumdan soğurmaya) ve çoğaltma faktörü k için tek-hızlı ifadeler. Termal reaktörlerde ℓ ≈ 10⁻⁴ s, hızlı reaktörlerde 10⁻⁷ s.

sembolanlambirim

\ell

hızlı nötron ömrüs

k

çoğaltma faktörü–

L^2

difüzyon alanıcm^2

B^2

geometrik buckling1/cm^2

\nu\Sigma_f

fisyon nötron üretim tesir kesiti1/cm

Öncül konsantrasyonu denge denklemi

(6.3)

\frac{\partial C_i}{\partial t} = -\lambda_i C_i(\mathbf{r},t) + \beta_i \nu\Sigma_f\,\phi(\mathbf{r},t), \qquad i = 1,\dots,6

Her gecikmeli-nötron öncül grubu için denge: fisyon hızıyla orantılı üretim (fraksiyon βᵢ) eksi λᵢ hızında radyoaktif bozunma. U-235 için altı grup gelenekseldir.

sembolanlambirim

C_i

i öncül grubunun konsantrasyonu1/cm^3

\lambda_i

i grubunun bozunma sabiti1/s

\beta_i

i grubunun gecikmeli fraksiyonu–

Nokta reaktör kinetiği denklemleri

(6.4)

\frac{dn}{dt} = \frac{\rho(t)-\beta}{\Lambda}\,n(t) + \sum_{i=1}^{6}\lambda_i C_i(t), \qquad \frac{dC_i}{dt} = \frac{\beta_i}{\Lambda}\,n(t) - \lambda_i C_i(t)

Bölümün merkezi sonucu: nötron genliği n(t) (veya güç) ve altı öncül konsantrasyonu için yedi eşleşik adi diferansiyel denklem. Λ (~10⁻⁴ s) ve öncül ömürleri (~80 s) mertebelerce farklı olduğundan denklemler serttir (stiff).

sembolanlambirim

n(t)

nötron popülasyonu (veya genlik)–

\rho(t)

reaktivite–

\beta

toplam etkin gecikmeli fraksiyon–

\Lambda

ortalama nötron üreme zamanıs

\lambda_i

öncül bozunma sabiti1/s

Reaktivite ve ortalama üreme zamanı

(6.5)

\rho(t) = \frac{k(t)-1}{k(t)}, \qquad \Lambda = \frac{\ell}{k}

Reaktivite (k'nın kritiklikten kesirli sapması) ve ortalama üreme zamanının tanımları. k ≈ 1 olduğunda Λ ≈ ℓ. Reaktivite mutlak birimlerde, pcm (10⁻⁵) veya dolar (ρ/β) cinsinden ölçülür.

sembolanlambirim

\rho

reaktivite–

k

çoğaltma faktörü–

\Lambda

ortalama üreme zamanıs

\ell

hızlı nötron ömrüs

Gecikmeli nötronlar dahil ortalama nötron ömrü

(6.6)

\langle \ell \rangle = (1-\beta)\,\ell + \sum_{i=1}^{6}\beta_i\left(\ell + \lambda_i^{-1}\right) \approx \ell + \sum_{i=1}^{6}\frac{\beta_i}{\lambda_i}

Tüm fisyon nötronlarının verim-ağırlıklı ortalama ömrü. β küçük olsa da, uzun öncül gecikme süreleri ⟨ℓ⟩'yi ~0.1 s'ye iter; bu ℓ'den çok daha büyüktür ve reaktörü kontrol edilebilir kılan şeydir.

sembolanlambirim

\langle \ell \rangle

ortalama nötron ömrüs

\beta_i

grup gecikmeli fraksiyonu–

\lambda_i

grup bozunma sabiti1/s

Karakteristik (ikinci derece) denklem, tek gecikmeli grup

(6.7)

\Lambda s^2 + \left(\lambda\Lambda + \beta - \rho_0\right)s - \rho_0\lambda = 0

Basamak ρ₀ sonrası tek-gruplu nokta kinetiği denklemlerine üstel deneme çözümleri yerleştirilerek elde edilir. İki kökü hızlı prompt-jump geçişini ve yavaş kararlı periyodu verir.

sembolanlambirim

s

ters periyot (kök)1/s

\rho_0

basamak reaktivite–

\lambda

etkin tek-grup bozunma sabiti1/s

\Lambda

ortalama üreme zamanıs

Basamak reaktiviteye güç yanıtı (tek grup)

(6.8)

P(t) \approx P_0\left[\frac{\beta}{\beta-\rho_0}\exp\!\left(\frac{\rho_0\lambda}{\beta-\rho_0}t\right) - \frac{\rho_0}{\beta-\rho_0}\exp\!\left(-\frac{\beta-\rho_0}{\Lambda}t\right)\right]

|ρ₀| < β için yaklaşık iki-üstel çözüm: β/(β−ρ₀) faktörüyle bir prompt sıçrama, ardından kararlı periyotta üstel büyüme (veya sönüm). Prompt-jump ve çubuk-düşürme ilişkilerinin temeli.

sembolanlambirim

P(t)

reaktör gücüW

P_0

başlangıç kararlı gücüW

\rho_0

basamak reaktivite–

\beta

gecikmeli fraksiyon–

Inhour denklemi (altı grup)

(6.9)

\rho_0 = s\Lambda + \sum_{i=1}^{6}\frac{s\,\beta_i}{s + \lambda_i} \;\equiv\; \Lambda s + s\sum_{i=1}^{6}\frac{\beta_i}{s+\lambda_i}

Sabit eklenen reaktivite ρ₀'ı yedi bozunma-sabiti kökü sⱼ ile ilişkilendirir; en büyük kök s₀ = 1/T kararlı reaktör periyodudur. Grafiksel olarak çözülür; yalnızca s₀ pozitif olabilir. Periyot-reaktivite dönüşümünün özüdür.

sembolanlambirim

\rho_0

eklenen reaktivite–

s

ters periyot kökü1/s

\beta_i

grup gecikmeli fraksiyonu–

\lambda_i

grup bozunma sabiti1/s

\Lambda

üreme zamanıs

Küçük reaktivite için kararlı periyot

(6.10)

T \approx \frac{1}{s_0}\left(\sum_{i}\frac{\beta_i}{\lambda_i}\right)\frac{1}{\rho_0} = \frac{\langle\ell\rangle}{\rho_0}

ρ₀ ≪ β için inhour denkleminin sınır biçimi: periyot, gecikmeli-nötron-ağırlıklı ömür tarafından belirlenir ve yavaş, kontrol edilebilir bir yanıt verir. Büyük ρ₀ için T ≈ ℓ/(ρ₀−β) ile karşılaştırın.

sembolanlambirim

T

kararlı reaktör periyodus

\rho_0

reaktivite–

\langle\ell\rangle

ortalama nötron ömrüs

Prompt-jump (çubuk-düşürme) güç oranı

(6.11)

\frac{P_1}{P_0} = \frac{\beta - \rho_0}{\beta - \rho_1} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{P_1}{P_0} = \frac{\beta}{\beta + |\delta\rho|}

dP/dt ihmal edilirse, ani bir reaktivite değişimi anlık bir güç sıçramasına neden olur. Kritikten (ρ₀=0) −δρ'ye bir çubuk düşürme için bu, çubuk-düşürme reaktivite-ölçüm formülünü verir; yaklaşık $0.50'ye kadar ~%1 içinde geçerlidir.

sembolanlambirim

P_0

sıçrama öncesi güçW

P_1

sıçrama sonrası güçW

\delta\rho

eklenen (negatif) reaktivite–

Sıfır-güç (açık-çevrim) transfer fonksiyonu

(6.12)

Z(s) = \frac{1}{s}\left[\Lambda + \sum_{i=1}^{6}\frac{\beta_i}{s+\lambda_i}\right]^{-1}, \qquad \frac{\bar p(s)}{P_0} = Z(s)\,\bar\rho(s)

Doğrusallaştırılmış sıfır-güç reaktörü için kesirli güç değişiminin reaktivite girdisine Laplace-uzayı oranı. Kutupları inhour kökleridir; s = iω'da değerlendirildiğinde pile-oscillator deneyleriyle ölçülen kazanç/fazı verir.

sembolanlambirim

Z(s)

açık-çevrim transfer fonksiyonu–

s

Laplace değişkeni1/s

\bar p(s)

güç bozunumunun Laplace dönüşümüW·s

Reaktivitenin sıcaklık katsayısı

(6.13)

\alpha_T = \frac{d\rho}{dT}, \qquad \delta\rho_f[P] = \alpha_T\,\delta T, \qquad \rho(t) = \delta\rho_{\mathrm{ext}}(t) + \delta\rho_f[P]

Birim sıcaklık değişimi başına reaktivite geri beslemesini tanımlar. Negatif bir α_T (örn. U-238 rezonanslarının Doppler genişlemesi) doğal kararlılık sağlar. ρ'yu dış ve geri besleme parçalarına ayırmak kinetik denklemleri doğrusal-olmayan hale getirir.

sembolanlambirim

\alpha_T

reaktivitenin sıcaklık katsayısı1/K

T

çekirdek (yakıt/moderatör) sıcaklığıK

\delta\rho_f

geri besleme reaktivitesi–

\delta\rho_{\mathrm{ext}}

dış (kontrol) reaktivitesi–

Kapalı-çevrim (geri beslemeli) transfer fonksiyonu

(6.14)

L(s) = \frac{Z(s)}{1 - P_0\,H(s)\,Z(s)}

Geri besleme çekirdeği H(s) ile P₀ gücünde çalışan bir reaktör için reaktivite-güç transfer fonksiyonu. Payda sıfıra yaklaştığında rezonans/kararsızlık ortaya çıkar; P₀ → 0 iken Z(s)'ye indirgenir. Nyquist kararlılık analizinin temelidir.

sembolanlambirim

L(s)

kapalı-çevrim transfer fonksiyonu–

H(s)

geri besleme transfer fonksiyonu1/W

P_0

denge güç seviyesiW

Altkritik kaynak çoğaltması

(6.15)

N = \frac{S_0}{1-k} = M S_0, \qquad M^{-1} = 1 - k

Altkritik bir düzenekte S₀ kaynağı tarafından üretilen kararlı nötron seviyesi. M⁻¹'in yakıt kütlesine karşı çizilip sıfıra ekstrapole edilmesi kritik yüklemeyi verir — kritiğe güvenli 1/M yaklaşımının temelidir.

sembolanlambirim

N

yükseltilmiş nötron seviyesi1/s

S_0

kaynak yayım hızı1/s

M

altkritik çoğaltma faktörü–

k

çoğaltma faktörü–

Hızlı bozunma sabiti (darbeli nötron)

(6.16)

\alpha_0 = v\Sigma_a + vD B^2 \;\;(\text{nonmultiplying}), \qquad \alpha_0 = v(\Sigma_a - \nu\Sigma_f) + vDB^2, \qquad \alpha_{\text{crit}} = \frac{\beta}{\Lambda}

Bir nötron darbesinden sonra temel-mod bozunma sabiti. α₀'ın B²'ye karşı çizilmesi vΣ_a (kesişim) ve vD (eğim) verir. Gecikmeli kritikte α₀ = β/Λ olur ve Rossi-α / darbeli-nötron tekniğinde β/Λ'nın doğrudan ölçümüne olanak tanır.

sembolanlambirim

\alpha_0

hızlı temel bozunma sabiti1/s

\Sigma_a

soğurma tesir kesiti1/cm

B^2

geometrik buckling1/cm^2

Uzaysal kinetik için modal/sentez açılımı

(6.17)

\phi(\mathbf{r},t) = \sum_{n=1}^{N} \varphi_n(t)\,\psi_n(\mathbf{r})

Nokta modeli başarısız olduğunda kullanılan yaklaşım: akıyı N bilinen deneme fonksiyonu ψₙ'de açın ve ağırlıklı-kalıntı veya varyasyonel izdüşüm yoluyla katsayılar φₙ(t) için adi diferansiyel denklemler türetin. Akı-sentezi uzay-zaman kinetik kodlarının temelini oluşturur.

sembolanlambirim

\varphi_n(t)

zamana bağlı açılım katsayısı–

\psi_n(\mathbf{r})

uzaysal deneme fonksiyonu / mod–

N

tutulan mod sayısı–

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Her fisyon, yeni fisyonları tetikleyebilecek nötronlar salar. Çoğaltma faktörü popülasyonun büyüyeceğini, sabit mi kalacağını yoksa söneceğini mi belirler. Kontrol çubuklarını sokup çıkarmak için kaydırıcıyı sürükleyin ve nötron popülasyonunun tepkisini izleyin.

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Etkileşimli Nokta Kinetiği Çözücü

Öğrenciler basamak, rampa, sinüzoidal veya darbe reaktivitesi ekler ve reaktör gücü ile altı öncül konsantrasyonunun gerçek zamanlı evrimini izler. Prompt sıçramayı, kararlı asimptotik periyodu ve ρ bir dolara (hızlı kritik) yaklaştıkça periyodun dramatik çöküşünü gözlemlerler. Canlı bir gösterge inhour denkleminden periyodu gösterir ve hızlı-kritik koşullarını işaretler.

GİRDİLER

Reactivity ρ (slider, −$5 to +$1, in $/pcm) · Insertion type (step/ramp/sine/pulse) · Ramp rate γ (0–0.01 s⁻¹) · Generation time Λ (10⁻⁷–10⁻³ s, log) · β_eff (0.002–0.008) · Number of delayed groups (1 or 6)

ÇIKTILAR

Power P(t) vs time (log-y plot) · Six precursor concentrations Cᵢ(t) · Live reactor period T readout · Inhour-equation root plot · Prompt-critical warning indicator

YÖNTEMImplicit/stiff ODE integration — backward-Euler or Rosenbrock-W (Kaps–Rentrop) for the 7×7 stiff system, with optional analytic exponential-of-matrix (Padé) propagator for piecewise-constant ρ; prompt-jump option drops the dP/dt term.

KOD KANCASIÖğrenciler reaktivite fonksiyonu rho(t, P, state)'i Rust/TS ile yazar; çözücü her adımda onu çağırır. Ayrıca özel bir gecikmeli-grup veri kümesi (λᵢ, βᵢ) ve özel bir integratör (örn. RK4 yerine backward-Euler) kodlayabilir ve kararlılık/sertlik etkilerini canlı güç eğrisinde anında görebilirler.

Konsola Gir: point-kinetics →

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Reaktivite Geri Beslemesi ve Kararlılık Gezgini

Nokta kinetiğini, ayarlanabilir sıcaklık katsayısı α_T olan toplu yakıt/soğutucu ısıl modeline bağlar. Öğrenciler farklı güç seviyelerinde reaktivite ekler ve gücün aşmasını, salınmasını, yeni bir dengeye oturmasını veya ıraksamasını izler. Bir Nyquist/Bode paneli kapalı-çevrim transfer fonksiyonu L(iω)'yı çizer; böylece öğrenciler zaman-uzayı geçişini frekans-uzayı kararlılık marjlarıyla ilişkilendirir.

GİRDİLER

Temperature coefficient α_T (−5×10⁻⁴ to +1×10⁻⁴ K⁻¹) · Equilibrium power P₀ (10 kW–3 GW, log) · Fuel heat capacity & time constant τ · Heat transfer coefficient to coolant · External reactivity step/sine amplitude

ÇIKTILAR

Power & temperature vs time · Phase-plane (P vs T) trajectory · Bode gain/phase of L(iω) · Nyquist plot with stability margin · New equilibrium power readout

YÖNTEMCoupled nonlinear ODE integration (point kinetics + two-node thermal energy balance) with adaptive stiff solver; linearized closed-loop transfer function L(s) = Z(s)/[1−P₀H(s)Z(s)] evaluated on s = iω for the Bode/Nyquist panels.

KOD KANCASIÖğrenciler geri besleme fonksiyoneli delta_rho_feedback(T_fuel, T_cool, P)'yi ve ısıl modeli uygular; kodlarında α_T'nin işaretini veya büyüklüğünü değiştirmek reaktörü kendini-kararlı kılan ile kararsız arasında çevirir; bu hem geçişte hem de Nyquist sarımında anında görülür.

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Uzay-Zaman Kinetiği: 1-B Çekirdekte Çubuk Fırlatması

Zamana bağlı tek-gruplu difüzyon + öncül denklemleriyle çözülen 1-B levha çekirdek. Öğrenciler yerel bir soğurucuyu fırlatır ve akı şeklinin bozulmasını ve bir güç eğilmesinin çekirdek boyunca yayılmasını izler — nokta modelinin yakalayamadığı bir şey. Bir geçiş düğmesi nokta-kinetiği tahminini üst üste bindirerek hızlı yerel geçişlerde modelin çöküşünü açığa çıkarır.

GİRDİLER

Core width & mesh size · Ejected rod position & worth ($) · Ejection time (ms) · Diffusion coefficient & cross sections · Toggle: full spatial vs point-kinetics overlay

ÇIKTILAR

Animated φ(x,t) heat strip · Total power vs time · Local power tilt index · Spatial vs point-model error curve

YÖNTEMMethod-of-lines finite-difference in space (central differencing) with theta-method / backward-Euler stiff time integration; precursors advanced analytically per cell; banded/Thomas linear solver each step. Optional modal (synthesis) reduced model for comparison.

KOD KANCASIÖğrenciler uzaysal tesir kesiti profili Sigma_a(x,t)'yi (hareketli çubuk) ve isteğe bağlı olarak özel bir uzaysal ayrıklaştırma veya modal taban sağlar; kodları yayılan akı animasyonunu doğrudan yeniden şekillendirir ve düğümsel/modal indirgemeleri tam sonlu-fark referansıyla karşılaştırmalarına olanak tanır.

Sayısal veriler

β (U-235, total delayed fraction)≈ 0.0065 (0.0075 in worked example)Altı-grup gecikmeli-nötron fraksiyonlarının toplamı; etkin değer β_eff biraz daha büyüktür.

β (Pu-239)≈ 0.0021U-235'ten düşük; Pu-239 ve U-233 biriktikçe β çekirdek ömrü boyunca azalır.

Prompt neutron lifetime ℓ (thermal reactor)≈ 10⁻⁴ sDoğumdan soğurmaya süre; hızlı reaktörlerde yaklaşık 10⁻⁷ s.

Average neutron lifetime ⟨ℓ⟩ with delayed neutrons≈ 0.1 sVerim-ağırlıklı; küçük reaktiviteler için periyodu domine eder ve kontrolü mümkün kılar.

Longest precursor decay constant λ₁ (U-235)λ₁ ≈ 0.0124 s⁻¹ (T ≈ 80 s)Maksimum kapatma hızını belirler: ρ ne kadar negatif olursa olsun ~80 s periyottan hızlı değil.

Six-group decay constants λᵢ (U-235 thermal)≈ 0.0124, 0.0305, 0.111, 0.301, 1.14, 3.01 s⁻¹Standart Keepin altı-grup öncül verileri.

One dollar of reactivity$1 = β (≈ 650 pcm for U-235)Hızlı-kritik eşiği; ρ > β = $1 hızlı süperkritiktir ve kaçınılmalıdır.

Prompt-jump approximation validitywithin ~1% up to ρ₀ ≈ $0.50Tam sayısal nokta-kinetiği çözümlerine karşı doğrulanmıştır.

YAZILIM NOTU

Bu bölüm, geçici reaktör simülasyonuna açılan kapıdır. Öğrenciler sert (stiff) adi diferansiyel denklem sistemlerini entegre etmeyi öğrenir: 7-denklemli nokta kinetiği kümesi Λ ~ 10⁻⁴ s'den öncül ömürleri ~80 s'ye kadar zaman sabitlerini kapsar; bu nedenle açık RK4 pratik adım boyutlarında kararsızdır. Backward-Euler, theta-yöntemi, parçalı-sabit reaktivite için üstel/Padé matris yayıcıları ve Rosenbrock–Wanner sert integratörlerini uygular ve karşılaştırırlar. Periyodu reaktiviteye çevirmek için inhour denklemine kök-bulma (Newton veya ikiye-bölme) ve kararlılık analizinde kullanılan sıfır-güç ve kapalı-çevrim transfer fonksiyonları için Laplace/Bode/Nyquist rutinleri kodlarlar. Geri besleme için kinetiği toplu ısıl enerji dengesine bağlayarak eşleşik doğrusal-olmayan bir sistem üretirler. Uzaysal kinetik, çizgiler yöntemini, bantlı/Thomas doğrusal çözücüleri ve modal/akı-sentezi ile yarı-statik indirgemeleri tanıtır. Bunlar gerçek üretim kodlarını yansıtır: PARCS, NESTLE ve DYN3D (düğümsel uzay-zaman kinetiği), RELAP5 ve TRACE içindeki nokta-kinetiği modülleri (sistem termal-hidroliği), β_eff ve Λ'yı eşlenik-ağırlıklı Monte Carlo ile üretmek için Serpent/MCNP ve tarihsel çözücüler (AIREK, GAKIT). Rust/WASM çekirdeği sert entegrasyonu ve sonlu-fark taramasını tarayıcıda yerel hızda sunarken, TypeScript etkileşimli grafikleri, kaydırıcıları ve animasyonları yönetir.

ALGORİTMALAR

Backward-Euler / theta-method stiff integrationRosenbrock–Wanner (Kaps–Rentrop) stiff ODE solverMatrix exponential (Padé) propagatorNewton/bisection root-finding for the inhour equationMethod of lines for time-dependent diffusionThomas (tridiagonal) linear solverLaplace transform / Bode-Nyquist frequency responseModal / flux-synthesis spatial reductionAdjoint-weighted β_eff and Λ estimation

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

Pratiğe dökün

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Tek-Hızlı Difüzyon Teorisi Modeli

Çok Gruplu Difüzyon Yöntemi

Ders 6 / 15İleri~40 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Nükleer Reaktör Kinetiği

Nokta Reaktör Kinetiği Modeli

delayed neutronsprecursor concentrationprompt neutron lifetimemean generation time Λreactivity ρspace-time separabilitylumped-parameter modeleffective delayed fraction β_effzero-power model

Nokta Reaktör Kinetiği Denklemlerinin Çözümü

inhour equationstable reactor periodstep reactivity insertionprompt jump approximationprompt criticaldollar / cent unitscharacteristic rootszero-power transfer functionramp insertionLaplace transform

Reaktivite Geri Beslemesi ve Reaktör Dinamiği

Reaktör Kinetik Parametrelerinin Deneysel Belirlenmesi

Reaktör Kinetiğinde Uzaysal Etkiler

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (17)

Bu denklemi çalıştır: Etkileşimli Nokta Kinetiği Çözücü →

Zamana bağlı akının modal açılımı

(6.1)

\phi(\mathbf{r},t) = \sum_{n} A_n\, e^{-\lambda_n t}\, \psi_n(\mathbf{r}), \qquad \lambda_n = vD B_n^2 + v\Sigma_a - v\nu\Sigma_f

sembolanlambirim

\phi(\mathbf{r},t)

nötron akısı1/(cm^2·s)

\psi_n

uzaysal özfonksiyon (Helmholtz modu)–

\lambda_n

n modunun zaman özdeğeri1/s

B_n^2

n modunun geometrik buckling'i1/cm^2

v

nötron hızıcm/s

D

difüzyon katsayısıcm

Hızlı nötron ömrü ve çoğaltma faktörü

(6.2)

\ell = \frac{1}{v\Sigma_a\left(1 + L^2 B^2\right)}, \qquad k = \frac{v\nu\Sigma_f/\Sigma_a}{1 + L^2 B^2}

sembolanlambirim

\ell

hızlı nötron ömrüs

k

çoğaltma faktörü–

L^2

difüzyon alanıcm^2

B^2

geometrik buckling1/cm^2

\nu\Sigma_f

fisyon nötron üretim tesir kesiti1/cm

Öncül konsantrasyonu denge denklemi

(6.3)

\frac{\partial C_i}{\partial t} = -\lambda_i C_i(\mathbf{r},t) + \beta_i \nu\Sigma_f\,\phi(\mathbf{r},t), \qquad i = 1,\dots,6

Her gecikmeli-nötron öncül grubu için denge: fisyon hızıyla orantılı üretim (fraksiyon βᵢ) eksi λᵢ hızında radyoaktif bozunma. U-235 için altı grup gelenekseldir.

sembolanlambirim

C_i

i öncül grubunun konsantrasyonu1/cm^3

\lambda_i

i grubunun bozunma sabiti1/s

\beta_i

i grubunun gecikmeli fraksiyonu–

Nokta reaktör kinetiği denklemleri

(6.4)

\frac{dn}{dt} = \frac{\rho(t)-\beta}{\Lambda}\,n(t) + \sum_{i=1}^{6}\lambda_i C_i(t), \qquad \frac{dC_i}{dt} = \frac{\beta_i}{\Lambda}\,n(t) - \lambda_i C_i(t)

sembolanlambirim

n(t)

nötron popülasyonu (veya genlik)–

\rho(t)

reaktivite–

\beta

toplam etkin gecikmeli fraksiyon–

\Lambda

ortalama nötron üreme zamanıs

\lambda_i

öncül bozunma sabiti1/s

Reaktivite ve ortalama üreme zamanı

(6.5)

\rho(t) = \frac{k(t)-1}{k(t)}, \qquad \Lambda = \frac{\ell}{k}

sembolanlambirim

\rho

reaktivite–

k

çoğaltma faktörü–

\Lambda

ortalama üreme zamanıs

\ell

hızlı nötron ömrüs

Gecikmeli nötronlar dahil ortalama nötron ömrü

(6.6)

\langle \ell \rangle = (1-\beta)\,\ell + \sum_{i=1}^{6}\beta_i\left(\ell + \lambda_i^{-1}\right) \approx \ell + \sum_{i=1}^{6}\frac{\beta_i}{\lambda_i}

sembolanlambirim

\langle \ell \rangle

ortalama nötron ömrüs

\beta_i

grup gecikmeli fraksiyonu–

\lambda_i

grup bozunma sabiti1/s

Karakteristik (ikinci derece) denklem, tek gecikmeli grup

(6.7)

\Lambda s^2 + \left(\lambda\Lambda + \beta - \rho_0\right)s - \rho_0\lambda = 0

Basamak ρ₀ sonrası tek-gruplu nokta kinetiği denklemlerine üstel deneme çözümleri yerleştirilerek elde edilir. İki kökü hızlı prompt-jump geçişini ve yavaş kararlı periyodu verir.

sembolanlambirim

s

ters periyot (kök)1/s

\rho_0

basamak reaktivite–

\lambda

etkin tek-grup bozunma sabiti1/s

\Lambda

ortalama üreme zamanıs

Basamak reaktiviteye güç yanıtı (tek grup)

(6.8)

P(t) \approx P_0\left[\frac{\beta}{\beta-\rho_0}\exp\!\left(\frac{\rho_0\lambda}{\beta-\rho_0}t\right) - \frac{\rho_0}{\beta-\rho_0}\exp\!\left(-\frac{\beta-\rho_0}{\Lambda}t\right)\right]

sembolanlambirim

P(t)

reaktör gücüW

P_0

başlangıç kararlı gücüW

\rho_0

basamak reaktivite–

\beta

gecikmeli fraksiyon–

Inhour denklemi (altı grup)

(6.9)

\rho_0 = s\Lambda + \sum_{i=1}^{6}\frac{s\,\beta_i}{s + \lambda_i} \;\equiv\; \Lambda s + s\sum_{i=1}^{6}\frac{\beta_i}{s+\lambda_i}

sembolanlambirim

\rho_0

eklenen reaktivite–

s

ters periyot kökü1/s

\beta_i

grup gecikmeli fraksiyonu–

\lambda_i

grup bozunma sabiti1/s

\Lambda

üreme zamanıs

Küçük reaktivite için kararlı periyot

(6.10)

T \approx \frac{1}{s_0}\left(\sum_{i}\frac{\beta_i}{\lambda_i}\right)\frac{1}{\rho_0} = \frac{\langle\ell\rangle}{\rho_0}

sembolanlambirim

T

kararlı reaktör periyodus

\rho_0

reaktivite–

\langle\ell\rangle

ortalama nötron ömrüs

Prompt-jump (çubuk-düşürme) güç oranı

(6.11)

\frac{P_1}{P_0} = \frac{\beta - \rho_0}{\beta - \rho_1} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{P_1}{P_0} = \frac{\beta}{\beta + |\delta\rho|}

sembolanlambirim

P_0

sıçrama öncesi güçW

P_1

sıçrama sonrası güçW

\delta\rho

eklenen (negatif) reaktivite–

Sıfır-güç (açık-çevrim) transfer fonksiyonu

(6.12)

Z(s) = \frac{1}{s}\left[\Lambda + \sum_{i=1}^{6}\frac{\beta_i}{s+\lambda_i}\right]^{-1}, \qquad \frac{\bar p(s)}{P_0} = Z(s)\,\bar\rho(s)

sembolanlambirim

Z(s)

açık-çevrim transfer fonksiyonu–

s

Laplace değişkeni1/s

\bar p(s)

güç bozunumunun Laplace dönüşümüW·s

Reaktivitenin sıcaklık katsayısı

(6.13)

\alpha_T = \frac{d\rho}{dT}, \qquad \delta\rho_f[P] = \alpha_T\,\delta T, \qquad \rho(t) = \delta\rho_{\mathrm{ext}}(t) + \delta\rho_f[P]

sembolanlambirim

\alpha_T

reaktivitenin sıcaklık katsayısı1/K

T

çekirdek (yakıt/moderatör) sıcaklığıK

\delta\rho_f

geri besleme reaktivitesi–

\delta\rho_{\mathrm{ext}}

dış (kontrol) reaktivitesi–

Kapalı-çevrim (geri beslemeli) transfer fonksiyonu

(6.14)

L(s) = \frac{Z(s)}{1 - P_0\,H(s)\,Z(s)}

sembolanlambirim

L(s)

kapalı-çevrim transfer fonksiyonu–

H(s)

geri besleme transfer fonksiyonu1/W

P_0

denge güç seviyesiW

Altkritik kaynak çoğaltması

(6.15)

N = \frac{S_0}{1-k} = M S_0, \qquad M^{-1} = 1 - k

sembolanlambirim

N

yükseltilmiş nötron seviyesi1/s

S_0

kaynak yayım hızı1/s

M

altkritik çoğaltma faktörü–

k

çoğaltma faktörü–

Hızlı bozunma sabiti (darbeli nötron)

(6.16)

\alpha_0 = v\Sigma_a + vD B^2 \;\;(\text{nonmultiplying}), \qquad \alpha_0 = v(\Sigma_a - \nu\Sigma_f) + vDB^2, \qquad \alpha_{\text{crit}} = \frac{\beta}{\Lambda}

sembolanlambirim

\alpha_0

hızlı temel bozunma sabiti1/s

\Sigma_a

soğurma tesir kesiti1/cm

B^2

geometrik buckling1/cm^2

Uzaysal kinetik için modal/sentez açılımı

(6.17)

\phi(\mathbf{r},t) = \sum_{n=1}^{N} \varphi_n(t)\,\psi_n(\mathbf{r})

sembolanlambirim

\varphi_n(t)

zamana bağlı açılım katsayısı–

\psi_n(\mathbf{r})

uzaysal deneme fonksiyonu / mod–

N

tutulan mod sayısı–

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.