Ders 7 / 15İleri~39 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Çok Gruplu Difüzyon Yöntemi

Bu bölüm modern reaktör fiziğinin merkezi hesaplama aracını geliştirir: çok gruplu difüzyon denklemleri. Enerjiye bağlı nötron difüzyon denklemi kapalı formda çözülemez, çünkü tesir kesitleri enerji ile on dekattan fazla aralıkta şiddetle değişir. Çok gruplu yöntem nötron enerji değişkenini G adet bitişik enerji aralığına (grup) ayırır ve sürekli enerjili difüzyon denklemini her grup üzerinde integre eder. Sonuç, her biri tanıdık tek hızlı denkleme benzeyen ancak gruplar arası saçılma ve fisyon kaynak terimleriyle birbirine bağlanan G adet tek enerjili difüzyon denklemidir. Bölüm önce bu denklemlerin sezgisel, fiziksel olarak motive edilmiş bir türetimini verir; çok gruplu sabitleri — grup difüzyon katsayıları, soğurma ve uzaklaştırma tesir kesitleri, gruptan gruba saçılma matrisleri ve fisyon spektrumu — sürekli tesir kesitlerinin akı ağırlıklı ortalamaları olarak tanımlar. Ardından denklemlerin nasıl ÇÖZÜLECEĞİNİ gösterir: kritiklik (k-özdeğer) problemleri için denklemler genelleştirilmiş matris özdeğer problemi olarak kurulur ve iç/dış iterasyonlarla güç iterasyonu yöntemiyle çözülür. Sayısal çözüm ayrıntılı işlenir: sonlu farklarla uzaysal ayrıklaştırma, ortaya çıkan blok-tridiyagonal sistemler, Gauss-Seidel ve ardışık aşırı-gevşeme (SOR) iç taramaları ve yakınsama hızlandırmalı fisyon kaynağı dış iterasyonu. Bölüm tek hızlı pertürbasyon teorisini çok gruplu duruma genelleştirir; kontrol, reaktivite katsayısı ve duyarlılık analizleri için temel olan eşlenik (önem) akısını ve birinci mertebe reaktivite formüllerini tanıtır. Sonuç gözlemleri çok gruplu difüzyon teorisini üretim reaktör kodları (PDQ, CITATION, VENTURE) ve az gruplu nodal yöntemler bağlamına yerleştirir. Bu bölüme hakimiyet, neredeyse tüm pratik statik ve yarı-statik reaktör hesaplamalarının ön koşuludur.

Çok Gruplu Difüzyon Denklemlerinin Sezgisel Türetimi

Enerjiye bağlı nötron difüzyon denkleminden başlanarak enerji ekseni E_G < E_{G-1} < ... < E_0 sınırlarıyla G gruba bölünür; g grubu [E_g, E_{g-1}] aralığını kapsar. Sürekli denklem her grup üzerinde integre edilir ve grup akısı skaler akının grup üzerindeki integrali olarak tanımlanırsa, G adet birbirine bağlı denge denklemi elde edilir. Püf nokta grup sabitlerinin tanımıdır: her tesir kesiti, reaksiyon hızları korunacak şekilde grup üzerinde akı ağırlıklı ortalama ile değiştirilir. Bu, grup difüzyon katsayıları D_g, grup soğurması Σ_{ag}, gruptan gruba saçılma Σ_{s,g'→g}, grup fisyonu ν Σ_{fg} ve fisyon spektrumu χ_g verir. Bu ortalamaları hesaplamak için gereken grup içi (ağırlıklandırma) spektrumu, yöntemi yaklaşık kılan tam olarak budur — kesin grup sabitleri bilinmeyen ayrıntılı akıyı gerektirir. Türetim, tam ağırlıklandırma spektrumları verildiğinde çok gruplu denklemlerin biçimsel olarak kesin olduğunu vurgular; pratikte spektrumlar sonsuz ortam veya temel mod hesaplarından tahmin edilir. Gruplar arası bağlanma yalnızca saçılma ve fisyon yoluyla gerçekleşir.

energy groupgroup constantsflux weightinggroup transfer scatteringfission spectrum χ_gremoval cross sectionwithin-group spectrum

Çok Gruplu Difüzyon Denklemlerinin Çözümü

Çok gruplu denklemlerin kritiklik formu, M φ = (1/k) F φ genelleştirilmiş özdeğer problemidir; burada M çok gruplu kayıp (göç + soğurma + dış-saçılma) operatörü, F fisyon üretim operatörü ve k çoğaltma özdeğeridir. Fisyon nötronları hızlı doğup yavaşladığından, saçılma matrisi termal yukarı-saçılma dışında esasen alt-üçgenseldir (aşağı-saçılma baskındır). Bu yapı, bir dış iterasyon içinde en hızlıdan en yavaş gruba doğru grup grup çözmeyi motive eder. Standart algoritma güç yöntemidir: bir fisyon kaynağı tahmin et, her grubun difüzyon denklemini (iç iterasyon) yüksek enerjili gruplardan gelen kaynak ve fisyon kaynağını kullanarak çöz, fisyon kaynağını yeniden hesapla, k'yi ardışık dış iterasyonlar arasındaki toplam fisyon üretiminin oranı olarak güncelle ve hem akı şekli hem k yakınsayana dek tekrarla. İki gruplu çıplak reaktör gibi özel durumlar, dört-faktör/altı-faktör yorumuyla tek hızlı sonuçları yeniden üreten analitik çözümler sunar ve fiziksel sezgi sağlar. Bölüm ayrıca alt-kritik ve zırhlama uygulamaları için sabit kaynak problemlerini ele alır; burada özdeğer yoktur ve doğrudan doğrusal çözüm yeterlidir.

generalized eigenvalue problemloss operator Mfission operator Fdown-scattering / up-scatteringtwo-group modelfixed-source problemcriticality

Çok Gruplu Difüzyon Denklemlerinin Sayısal Çözümü

Gerçek reaktörler heterojen ve çok boyutludur, bu yüzden çok gruplu denklemler sayısal olarak çözülmelidir. Standart yaklaşım uzayı bir ağ üzerinde ayrıklaştırır ve difüzyon (Laplas) operatörünü, malzeme arayüzlerinde nötron akımını koruyan ağ-merkezli veya köşe-merkezli şemalarla sonlu fark yaklaşımlarıyla değiştirir. Her grup için uzaysal ayrıklaştırma, matrisi 1B'de tridiyagonal ve 2B/3B'de blok-tridiyagonal (beş veya yedi noktalı şablon) olan, simetrik ve pozitif tanımlı seyrek bir doğrusal sistem verir. Bu iç sistemler Gauss-Seidel veya çok daha verimli biçimde optimal gevşeme faktörü ω_opt ile ardışık aşırı-gevşeme (SOR) ya da satır/ADI yöntemleriyle iteratif çözülür. Tam kritiklik hesabı iki iterasyon düzeyini iç içe koyar: iç iterasyonlar her grubun uzaysal akısını sabit kaynak için yakınsar; dış (güç/kaynak) iterasyonları fisyon kaynağını ve özdeğer k'yi günceller. Yakınsama hem k hem de noktasal akı üzerinde izlenir; baskınlık oranı bire yakınken dış iterasyon sayısını azaltmak için Chebyshev veya Wielandt fisyon kaynağı hızlandırması kullanılır. Ağ aralığı seçimi, sayısal kararlılık ve doğruluk-maliyet dengesi tartışılır.

finite-difference discretizationblock-tridiagonal matrixGauss-SeidelSOR / optimal ωinner/outer iterationspower iterationsource accelerationmesh spacing

Çok Gruplu Pertürbasyon Teorisi

Birçok tasarım sorusu, bileşim veya geometrideki küçük bir değişikliğin çoğaltma faktörünü nasıl kaydırdığıyla ilgilidir — kontrol çubuğu değeri, reaktivite katsayıları, tesir kesiti belirsizliklerine duyarlılık. Her pertürbasyon için tam özdeğer problemini yeniden çözmek savurganlıktır; pertürbasyon teorisi reaktivite değişimini doğrudan pertürbe edilmemiş ileri ve eşlenik akılardan verir. Tek hızlı modelin aksine, çok gruplu operatör M öz-eşlenik DEĞİLDİR, bu yüzden eşlenik (önem) özdeğer problemi M† φ† = (1/k) F† φ† çözülmelidir. Eşlenik akı φ†_g(r), g grubundaki bir nötronun r konumunda zincir reaksiyonunu sürdürmedeki önemini ölçer — çekirdek merkezine yakın hızlı grup nötronu, kenara yakın termal grup nötronundan çok daha önemlidir. Birinci mertebe pertürbasyon teorisi, reaktivite değişimi Δρ'yu, eşlenik ve ileri akılar arasına yerleştirilmiş δM − (1/k)δF pertürbasyon operatörünün iç çarpımı olarak, eşlenik ağırlıklı fisyon hızıyla normalize edilmiş biçimde ifade eder. Bölüm bu formülü türetir, φ†'yi nötron önem fonksiyonu olarak yorumlar ve yerel soğurucu değerine ve gruba bağlı duyarlılık katsayılarına uygular; böylece sonraki bölümlerde kinetik, kontrol ve belirsizlik nicelendirmesi için temel atar.

adjoint flux φ†neutron importance functionnon-self-adjoint operatorfirst-order reactivitycontrol-rod worthsensitivity coefficientsinner product / bra-ket

Bazı Sonuç Gözlemleri

Bölüm, çok gruplu difüzyon teorisini reaktör analizi pratiği içine yerleştirerek kapanır. Yöntemin doğruluğunun neredeyse tamamen grup sabitlerinin ve bunları üretmek için kullanılan ağırlıklandırma spektrumlarının kalitesine bağlı olduğunu vurgular — bu nedenle küresel difüzyon çözümünden önce gelen kafes/hücre kodlarının ağır mekanizması. İnce gruplu (onlarca ila yüzlerce grup, spektrum ve kafes hesaplarında) ile az gruplu (tipik olarak iki ila dört grup, tam çekirdek difüzyonunda) gösterimleri ve bunları köprüleyen grup daraltma prosedürünü ayırt eder. Güçlü soğurucular, boşluklar ve dik akı gradyanları yakınında difüzyon teorisinin sınırlamaları kabul edilir; bu da transport düzeltmelerini ve süreksizlik faktörlerini motive eder. Son olarak bölüm, üretim difüzyon kodlarının soyağacını — PDQ, CITATION, VENTURE, 2DB/3DB — gözden geçirir ve nodal ile modern kaba ağ yöntemlerine işaret eder; çok gruplu difüzyonu, nükleer verileri, kafes fiziğini ve Bölüm 4'te ele alınan tam çekirdek tasarımını birbirine bağlayan vazgeçilmez bel kemiği olarak çerçeveler.

fine-group vs few-groupgroup collapsinglattice/cell codesproduction diffusion codesdiffusion theory limitationsdiscontinuity factorsnodal methods

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (15)

Bu denklemi çalıştır: İki Gruplu Kritik Reaktör Çözücüsü →

Enerjiye Bağlı Nötron Difüzyon Denklemi

(7.1)

\frac{1}{v}\frac{\partial \phi}{\partial t} - \nabla\!\cdot\! D(\mathbf{r},E)\nabla\phi(\mathbf{r},E,t) + \Sigma_t(\mathbf{r},E)\,\phi(\mathbf{r},E,t) = \int_0^\infty\! dE'\,\Sigma_s(E'\!\to\! E)\,\phi(\mathbf{r},E',t) + \chi(E)\!\int_0^\infty\! dE'\,\nu\Sigma_f(E')\,\phi(\mathbf{r},E',t)

Sürekli enerjili başlangıç noktası. Sol taraf E enerjisinde zaman değişimi, sızıntı ve toplam uzaklaştırmadır; sağ taraf tüm E' enerjilerinden iç-saçılma ve χ(E) spektrumuyla doğan fisyon nötronlarıdır. Çok gruplu yöntem bunu enerjide ayrıklaştırır.

sembolanlambirim

\phi(\mathbf{r},E,t)

enerjiye bağlı skaler akın·cm⁻²·s⁻¹·eV⁻¹

D(\mathbf{r},E)

difüzyon katsayısıcm

\Sigma_t

toplam makroskopik tesir kesiticm⁻¹

\Sigma_s(E'\!\to\! E)

diferansiyel saçılma tesir kesiticm⁻¹·eV⁻¹

\chi(E)

fisyon yayılma spektrumueV⁻¹

\nu\Sigma_f

nötron üretim tesir kesiticm⁻¹

v

nötron hızıcm·s⁻¹

Grup Akısı Tanımı

(7.2)

\phi_g(\mathbf{r},t) \equiv \int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\; \phi(\mathbf{r},E,t), \qquad g = 1,2,\dots,G

Grup akısı, enerjiye bağlı akının g grubunun [E_g, E_{g-1}] enerji aralığı üzerindeki integralidir. Geleneğe göre grup 1 en yüksek enerjili (en hızlı) grup, grup G ise en düşük (termal) gruptur. Tüm grup sabitleri bu akıya göre reaksiyon hızlarını koruyacak şekilde tanımlanır.

sembolanlambirim

\phi_g

g grubu skaler akısın·cm⁻²·s⁻¹

E_g

g grubunun alt enerji sınırıeV

G

toplam enerji grubu sayısı–

Çok Gruplu Difüzyon Denklemleri

(7.3)

-\nabla\!\cdot\! D_g\nabla\phi_g + \Sigma_{tg}\,\phi_g = \sum_{g'=1}^{G}\Sigma_{s,g'\to g}\,\phi_{g'} + \frac{\chi_g}{k}\sum_{g'=1}^{G}\nu\Sigma_{fg'}\,\phi_{g'}

Temel sonuç: G adet birbirine bağlı tek enerjili difüzyon denklemi. Her grup sızıntı ve toplam etkileşimi (sol), tüm g' gruplarından iç-saçılma ve fisyon kaynağının χ_g payına (sağ) karşı dengeler. Özdeğer k, kritiklik için fisyon kaynağını normalize eder. Simülasyon platformunun çözdüğü denklem budur.

sembolanlambirim

D_g

g grubu difüzyon katsayısıcm

\Sigma_{tg}

g grubu toplam tesir kesiticm⁻¹

\Sigma_{s,g'\to g}

g'→g saçılma transfer tesir kesiticm⁻¹

\chi_g

g grubunda doğan fisyon nötronlarının kesri–

\nu\Sigma_{fg'}

g' grubu fisyon üretim tesir kesiticm⁻¹

k

çoğaltma özdeğeri–

Akı Ağırlıklı Grup Sabitleri

(7.4)

\Sigma_{xg}(\mathbf{r}) = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\,\Sigma_x(\mathbf{r},E)\,\phi(\mathbf{r},E)}{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\,\phi(\mathbf{r},E)}

Her grup tesir kesiti (x = a, f, t, s), sürekli tesir kesitinin grup üzerindeki akı ağırlıklı ortalamasıdır. Bu tanım, grup reaksiyon hızı Σ_{xg}φ_g'nin kesin reaksiyon hızına eşit olmasını garantiler. Doğruluğu tamamen grup içi ağırlıklandırma spektrumu φ(r,E)'nin bilinmesine bağlıdır.

sembolanlambirim

\Sigma_{xg}

x tipi g grubu ortalama tesir kesiticm⁻¹

\Sigma_x(\mathbf{r},E)

sürekli enerjili tesir kesiticm⁻¹

Grup Difüzyon Katsayısı

(7.5)

D_g = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\, D(E)\,|\nabla\phi(E)|}{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\, |\nabla\phi(E)|} \;\approx\; \frac{1}{3\,\Sigma_{tr,g}}

Grup difüzyon katsayısı, D akı gradyanını çarptığı için titizlikle akım ağırlıklı (gradyan ağırlıklı) bir ortalamadır. Pratikte tek hızlı teoriye paralel olarak, grup transport tesir kesitiyle 1/(3 Σ_tr,g) ile yaklaşıklanır. Her gruptaki sızıntıyı belirler.

sembolanlambirim

D_g

grup difüzyon katsayısıcm

\Sigma_{tr,g}

grup transport tesir kesiticm⁻¹

Uzaklaştırma Tesir Kesiti

(7.6)

\Sigma_{Rg} = \Sigma_{tg} - \Sigma_{s,g\to g} = \Sigma_{ag} + \sum_{g'\neq g}\Sigma_{s,g\to g'}

Uzaklaştırma tesir kesiti, toplam eksi grup içi (öz-)saçılmadır; yani nötronların soğurma veya başka gruplara saçılma yoluyla g grubundan ayrılma hızıdır. Grup içi saçılmayı sola toplamak, çok gruplu denklemleri kodlarda yaygın kullanılan uzaklaştırma-kaynak formuna sadeleştirir.

sembolanlambirim

\Sigma_{Rg}

g grubu uzaklaştırma tesir kesiticm⁻¹

\Sigma_{ag}

g grubu soğurma tesir kesiticm⁻¹

Matris Özdeğer (Kritiklik) Formu

(7.7)

\mathbf{M}\,\boldsymbol{\phi} = \frac{1}{k}\,\mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}

Kritiklik probleminin kompakt operatör formu. M kayıp (göç + uzaklaştırma − grup içi/aşağı-saçılma) operatörü, F ise grup akı vektörü φ üzerine etki eden fisyon üretim operatörüdür. Genelleştirilmiş özdeğer problemi olarak çözülür; en büyük k etkin çoğaltma faktörü k_eff, özvektörü ise temel mod akısıdır.

sembolanlambirim

\mathbf{M}

kayıp / göç operatörü (matris)–

\mathbf{F}

fisyon üretim operatörü (matris)–

\boldsymbol{\phi}

grup akı vektörün·cm⁻²·s⁻¹

Güç (Kaynak) İterasyonu

(7.8)

\boldsymbol{\phi}^{(n+1)} = \frac{1}{k^{(n)}}\,\mathbf{M}^{-1}\mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}^{(n)}, \qquad k^{(n+1)} = k^{(n)}\,\frac{\langle \mathbf{F}\boldsymbol{\phi}^{(n+1)}\rangle}{\langle \mathbf{F}\boldsymbol{\phi}^{(n)}\rangle}

Çok gruplu özdeğer çözümünün dış iterasyonu. Mevcut fisyon kaynağı verildiğinde, yeni akıyı elde etmek için M⁻¹ grup grup uygulanır (iç iterasyonlar); ardından k, iterasyonlar arasındaki toplam fisyon üretiminin oranı olarak güncellenir. Baskın özdeğer çiftine yakınsar; yakınsama hızı en büyük iki özdeğerin baskınlık oranıyla belirlenir.

sembolanlambirim

\boldsymbol{\phi}^{(n)}

n dış iterasyonunda akı tahminin·cm⁻²·s⁻¹

k^{(n)}

n iterasyonunda özdeğer tahmini–

\langle\cdot\rangle

tüm uzay ve gruplar üzerinde integral–

Sonlu Fark Ayrıklaştırması (1B, grup g)

(7.9)

-\frac{D_{g,i+1/2}(\phi_{g,i+1}-\phi_{g,i}) - D_{g,i-1/2}(\phi_{g,i}-\phi_{g,i-1})}{\Delta x^2} + \Sigma_{Rg,i}\,\phi_{g,i} = S_{g,i}

Düzgün ağ üzerindeki grup içi difüzyon denkleminin üç noktalı (tridiyagonal) sonlu fark formu. Arayüz difüzyon katsayıları D_{i±1/2}, malzeme sınırları boyunca akımı korumak için harmonik ortalama kullanır. Tüm ağ noktaları üzerinde birleştirme, her iç iterasyonda çözülen tridiyagonal matrisi verir; S_{g,i} birleşik saçılma + fisyon kaynağıdır.

sembolanlambirim

\phi_{g,i}

i ağ noktasında g grubu akısın·cm⁻²·s⁻¹

\Delta x

ağ aralığıcm

D_{g,i\pm 1/2}

arayüz (harmonik ortalamalı) difüzyon katsayısıcm

S_{g,i}

i noktasında toplam giriş kaynağın·cm⁻³·s⁻¹

Ardışık Aşırı-Gevşeme (SOR) İç Taraması

(7.10)

\phi_i^{(m+1)} = (1-\omega)\,\phi_i^{(m)} + \frac{\omega}{a_{ii}}\Big(S_i - \sum_{j<i} a_{ij}\phi_j^{(m+1)} - \sum_{j>i} a_{ij}\phi_j^{(m)}\Big)

Her grubun uzaysal doğrusal sistemini çözmek için kullanılan iç iterasyon gevşemesi. ω=1 Gauss-Seidel'i verir; optimal aşırı-gevşeme faktörü 1<ω_opt<2, simetrik pozitif tanımlı sonlu fark matrisinin yakınsamasını çarpıcı biçimde hızlandırır. Bu, güç iterasyonu içine iç içe yerleştirilmiş grup başına iç döngüdür.

sembolanlambirim

\omega

gevşeme faktörü (1<ω<2)–

a_{ij}

sonlu fark matris katsayısı–

m

iç iterasyon indeksi–

İki Gruplu Difüzyon Denklemleri (yukarı-saçılma yok)

(7.11)

\begin{aligned} -D_1\nabla^2\phi_1 + (\Sigma_{a1}+\Sigma_{s,1\to 2})\phi_1 &= \tfrac{1}{k}\big(\nu\Sigma_{f1}\phi_1 + \nu\Sigma_{f2}\phi_2\big) \\ -D_2\nabla^2\phi_2 + \Sigma_{a2}\,\phi_2 &= \Sigma_{s,1\to 2}\,\phi_1 \end{aligned}

Klasik iki gruplu model: hızlı grup 1 (fisyon nötronlarının doğduğu, χ_1=1) nötronları sızıntı, soğurma ve termal grup 2'ye yavaşlama yoluyla kaybeder; termal grup 2 yalnızca aşağı-saçılma ile beslenir ve fisyonun çoğunu sürdürür. Bunları çıplak reaktör için analitik çözmek, değiştirilmiş tek gruplu kritiklik koşulunu yeniden üretir ve hızlı/termal bağlanmayı netleştirir.

sembolanlambirim

\phi_1,\phi_2

hızlı ve termal grup akıların·cm⁻²·s⁻¹

\Sigma_{s,1\to 2}

hızlıdan termale saçılma (yavaşlama) tesir kesiticm⁻¹

Çok Gruplu Eşlenik Özdeğer Problemi

(7.12)

\mathbf{M}^{\dagger}\,\boldsymbol{\phi}^{\dagger} = \frac{1}{k}\,\mathbf{F}^{\dagger}\,\boldsymbol{\phi}^{\dagger}

Eşlenik (devrik) özdeğer problemi. Çok gruplu operatör öz-eşlenik olmadığından, M† ve F†, M ve F'nin devrikleridir: enerji indeksinde saçılma ve fisyon rolleri tersine döner. Özdeğeri ileri k'ye eşittir, ancak özvektörü φ† nötron önem (değer) fonksiyonudur ve pertürbasyon ile duyarlılık analizinin merkezindedir.

sembolanlambirim

\boldsymbol{\phi}^{\dagger}

eşlenik (önem) akı vektörü–

\mathbf{M}^{\dagger},\mathbf{F}^{\dagger}

eşlenik kayıp ve fisyon operatörleri–

Birinci Mertebe Pertürbasyon Reaktivitesi

(7.13)

\Delta\rho \approx \frac{\big\langle \boldsymbol{\phi}^{\dagger},\,\big(\tfrac{1}{k}\delta\mathbf{F} - \delta\mathbf{M}\big)\boldsymbol{\phi}\big\rangle}{\big\langle \boldsymbol{\phi}^{\dagger},\,\tfrac{1}{k}\mathbf{F}\boldsymbol{\phi}\big\rangle}

Ana pertürbasyon formülü: küçük bir δM (kayıplar) ve δF (üretim) pertürbasyonundan kaynaklanan reaktivite değişimi, pertürbasyonun eşlenik ağırlıklı, ileri akı ağırlıklı ortalamasının eşlenik ağırlıklı fisyon hızına normalize edilmiş halidir. Yalnızca pertürbe edilmemiş ileri ve eşlenik akıları gerektirir — yeniden çözüm yok. Kontrol çubuğu değeri, reaktivite katsayıları ve tesir kesiti duyarlılığı için kullanılır.

sembolanlambirim

\Delta\rho

reaktivite değişimi–

\delta\mathbf{M},\delta\mathbf{F}

kayıp ve fisyon operatörlerinin pertürbasyonları–

Grup Daraltma (Yoğunlaştırma)

(7.14)

\Sigma_x^{\,G} = \frac{\displaystyle\sum_{g\in G}\Sigma_{xg}\,\phi_g}{\displaystyle\sum_{g\in G}\phi_g}

Birçok ince grubu kaba az gruplu kümeye daraltma: geniş grup sabiti, geniş grup G içinde bulunan ince grupların üzerinde ince grup akısı ağırlıklı ortalamasıdır. Spektrum/kafes kodlarının az gruplu sabitleri tam çekirdek difüzyon kodlarına bu şekilde aktarır; doğruluk kullanılan ince grup spektrumuna bağlıdır.

sembolanlambirim

\Sigma_x^{\,G}

geniş (daraltılmış) grup tesir kesiticm⁻¹

g\in G

geniş grup G içindeki ince gruplar–

Küresel Nötron Dengesi (Kritiklik Kontrolü)

(7.15)

k_{\mathrm{eff}} = \frac{\displaystyle\int_V d^3r \sum_{g} \chi_g \sum_{g'} \nu\Sigma_{fg'}\phi_{g'}}{\displaystyle\int_V d^3r \sum_{g}\big(\Sigma_{ag}\phi_g + \nabla\!\cdot\! \mathbf{J}_g\big)}

İntegral nötron dengesi: k_eff, tüm gruplar üzerinde toplanıp çekirdek üzerinde integre edilen toplam fisyon üretiminin toplam kayıplara (soğurma artı net sızıntı) bölünmesine eşittir. Yakınsamış çok gruplu çözüm üzerinde fiziksel tutarlılık kontrolü ve özdeğer güncellemesinin temelini sağlar.

sembolanlambirim

k_{\mathrm{eff}}

etkin çoğaltma faktörü–

\mathbf{J}_g

g grubu net nötron akımı (−D_g∇φ_g)n·cm⁻²·s⁻¹

V

çekirdek hacmicm³

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Her fisyon, yeni fisyonları tetikleyebilecek nötronlar salar. Çoğaltma faktörü popülasyonun büyüyeceğini, sabit mi kalacağını yoksa söneceğini mi belirler. Kontrol çubuklarını sokup çıkarmak için kaydırıcıyı sürükleyin ve nötron popülasyonunun tepkisini izleyin.

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

İki Gruplu Kritik Reaktör Çözücüsü

Öğrenci 1B levha veya 2B dikdörtgen reaktör için birbirine bağlı iki gruplu difüzyon denklemlerini kurar ve çözer. Hızlı/termal tesir kesitlerini ve yavaşlama hızını ayarlar, güç iterasyonunu çalıştırır ve k_eff ile hızlı/termal akı şekillerinin gerçek zamanlı yakınsamasını izler. Reaktörü kritik, süper-kritik veya alt-kritik yapabilir ve termal akının moderasyonun en güçlü olduğu yerde nasıl tepe yaptığını görür.

GİRDİLER

D1, D2 (0.5–2.0 cm) · Σa1, Σa2 (0.001–0.2 cm⁻¹) · Σs,1→2 slowing-down (0.01–0.1 cm⁻¹) · νΣf1, νΣf2 (0–0.3 cm⁻¹) · core half-width a (10–200 cm) · mesh points N (20–500)

ÇIKTILAR

k_eff readout with convergence history plot · overlaid fast φ1 and thermal φ2 flux profiles · power (fission) density profile · outer-iteration count and dominance ratio

YÖNTEMFinite-difference spatial discretization (tridiagonal in 1D, block 5-point in 2D) + power (outer) iteration with Gauss-Seidel/SOR inner sweeps; Thomas algorithm for the 1D tridiagonal solve.

KOD KANCASIÖğrenciler iç iterasyon çekirdeğini (ör. SOR taraması veya Thomas çözümü) ve özdeğer güncellemesini Rust/WASM'de uygular. Çözücüleri referans olanın yerini alır; ekrandaki akı eğrileri ve k_eff onların kodundan canlı yeniden hesaplanır, böylece bir hata (yanlış harmonik ortalama, yanlış kaynak bağlanması) hemen bozuk akı veya yakınsamayan k olarak görünür.

Konsola Gir: two-group →

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Çok Gruplu Spektrum ve Grup Daraltma Laboratuvarı

İnce gruplu (ör. 70 gruplu) sonsuz ortam spektrumundan başlayarak öğrenci akı ağırlıklı grup sabitlerini hesaplar ve az gruba daraltır, az gruplu sonucu ince gruplu referansla karşılaştırır. Moderatör-yakıt oranını değiştirir, spektrumun kaymasını (daha fazla moderasyon → daha büyük termal tepe) izler ve daraltılmış sabitlerin nasıl değiştiğini görür.

GİRDİLER

number of fine groups (10–238) · number of broad groups (1–8) · moderator/fuel ratio (0.5–8) · buckling B² for leakage (0–0.01 cm⁻²) · fuel enrichment (0.7–20%)

ÇIKTILAR

lethargy-axis flux spectrum (log-log) · fine vs collapsed group-constant bar charts · two-group k_inf comparison · spectral hardening indicator

YÖNTEMSolve the infinite-medium (B² fundamental-mode) multigroup balance for the spectrum, then apply the flux-weighted collapsing formula; compare reaction rates fine vs broad.

KOD KANCASIÖğrenciler daraltma rutinini ve ince grup spektrum çözücüsünü TypeScript/Rust'ta yazar. Ortalama formülleri çizilen daraltılmış sabitleri doğrudan belirler; yanlış bir ağırlıklandırma (ör. ağırlıksız ortalama) az gruplu k_inf'i ve çubuk grafikleri ince grup referansından gözle görülür biçimde saptırır.

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Eşlenik Akı ve Kontrol Çubuğu Değer Haritası

Öğrenci hem ileri hem eşlenik iki gruplu problemi çözer, ardından küçük bir soğurucuyu çekirdek boyunca sürükler ve pertürbasyon teorisinin öngördüğü birinci mertebe reaktivite değişimi Δρ'yu okur; bu, kesin bir yeniden çözümle doğrulanır. Bir değer haritası (önem × akı) bir çubuğun en etkili olduğu yeri gösterir.

GİRDİLER

absorber strength δΣa (0.001–0.05 cm⁻¹) · absorber position x0 (0–a) · absorber width (1–20 cm) · group of absorption (fast/thermal) · base two-group cross-section set

ÇIKTILAR

forward φ and adjoint φ† overlaid profiles · Δρ (perturbation) vs Δρ (exact) comparison · spatial worth map heatmap · differential worth curve dρ/dx

YÖNTEMForward + adjoint power iteration (M and Mᵀ), then evaluate the first-order reactivity inner product; cross-check by re-solving the perturbed eigenvalue problem.

KOD KANCASIÖğrenciler eşlenik operatör devriğini ve reaktivite iç çarpımını Rust/WASM'de uygular. Çok gruplu operatör öz-eşlenik olmadığından, saçılma/fisyon bağlanmasını devirmeyi unutan bir öğrenci φ†'nin yanlışlıkla φ'ye eşit olduğunu ve kesin yeniden çözümle uyuşmayan bir değer haritası görür — hatanın anında, görünür bir teşhisi.

Sayısal veriler

Typical few-group structure (LWR)2 groups: fast (E>0.625 eV), thermal (E<0.625 eV)0.625 eV, iki gruplu LWR analizinde hızlı ve termali ayıran standart kadmiyum kesim enerjisidir.

Fine-group structures≈47–238 groups (WIMS, SCALE), up to ~10⁴ ultrafineDaraltma ile az gruplu sabitler üretmek için kafes/spektrum kodlarında kullanılır.

Thermal up-scatter threshold≈ below 1–4 eV≈4 eV altında nötronlar ortamın termal hareketinden enerji kazanabilir; bu saçılma matrisini üçgensel olmaktan çıkarır.

Optimal SOR factor (model problem)ω_opt = 2 / (1 + √(1−ρ²))ρ Jacobi spektral yarıçapıdır; ince ağlar için ω_opt tipik olarak 1.7–1.95'tir.

Prompt fission neutrons per fission (U-235, thermal)ν ≈ 2.43νΣ_f grup sabitlerine girer; enerjiye ve izotopa bağlıdır.

Typical LWR k_eff convergence toleranceΔk ≈ 1e-5 to 1e-6, flux ≈ 1e-4 to 1e-5Üretim difüzyon çözümleri için dış/iç iterasyon durdurma ölçütleri.

YAZILIM NOTU

Bu bölüm temelde bir hesaplama bölümüdür: reaktör fiziğini doğrusal cebire dönüştürür. Öğrenciler çok gruplu kayıp ve fisyon operatörlerini birleştirmeyi, difüzyon (Laplas) operatörünü korunumlu sonlu farklarla (harmonik arayüz katsayıları) ayrıklaştırmayı ve ortaya çıkan seyrek blok-tridiyagonal sistemleri çözmeyi öğrenir. Merkezi algoritma, Mφ=(1/k)Fφ genelleştirilmiş özdeğer problemi için güç (kaynak) iterasyonudur; iç içe iç iterasyonlar (Gauss-Seidel, optimal ω ile SOR veya 1B'de Thomas algoritması) ve k_eff'i güncelleyen dış fisyon kaynağı iterasyonları ile. Öğrenciler hem akı hem özdeğer üzerinde yakınsama testlerini ve baskınlık oranı bire yakınken isteğe bağlı Chebyshev/Wielandt hızlandırmasını uygular. Ayrıca eşlenik çözümü (operatör devriği), birinci mertebe pertürbasyon reaktivite işlevselini, akı ağırlıklı grup sabiti ortalamasını ve ince ile az gruplu gösterimleri bağlayan grup daraltma rutinlerini kurarlar. Bu, PDQ, CITATION, VENTURE, DIF3D gibi üretim kodlarının ve modern paketlerin (SCALE, PARCS, nodal kaba ağ kodları) difüzyon çözücülerinin içindeki çekirdektir. Bu platformda sayısal çekirdekler tarayıcıda neredeyse yerel hıza ulaşmak için WASM'a derlenen Rust ile yazılır; TypeScript ise arayüzü, çizimi ve öğrenci kod-enjeksiyon kancalarını yönetir. Pedagojik kazanç, öğrencilerin arayüz ortalamasındaki, kaynak bağlanmasındaki veya operatör devriğindeki bir hatanın doğrudan bozuk bir akı, yanlış bir k_eff veya doğrulama kontrolünü geçemeyen bir değer haritası olarak nasıl ortaya çıktığını görmesidir.

ALGORİTMALAR

Power (source) iterationInner/outer iteration nestingGauss-SeidelSuccessive over-relaxation (SOR)Thomas algorithm (tridiagonal solve)Finite-difference discretizationAdjoint (transpose) eigenvalue solveFirst-order perturbation functionalGroup collapsing / flux weightingChebyshev / Wielandt source acceleration

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

Pratiğe dökün

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Nükleer Reaktör Kinetiği

Hızlı Spektrum Hesaplamaları ve Hızlı Grup Sabitleri

Ders 7 / 15İleri~39 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Çok Gruplu Difüzyon Yöntemi

Çok Gruplu Difüzyon Denklemlerinin Sezgisel Türetimi

energy groupgroup constantsflux weightinggroup transfer scatteringfission spectrum χ_gremoval cross sectionwithin-group spectrum

Çok Gruplu Difüzyon Denklemlerinin Çözümü

generalized eigenvalue problemloss operator Mfission operator Fdown-scattering / up-scatteringtwo-group modelfixed-source problemcriticality

Çok Gruplu Difüzyon Denklemlerinin Sayısal Çözümü

finite-difference discretizationblock-tridiagonal matrixGauss-SeidelSOR / optimal ωinner/outer iterationspower iterationsource accelerationmesh spacing

Çok Gruplu Pertürbasyon Teorisi

adjoint flux φ†neutron importance functionnon-self-adjoint operatorfirst-order reactivitycontrol-rod worthsensitivity coefficientsinner product / bra-ket

Bazı Sonuç Gözlemleri

fine-group vs few-groupgroup collapsinglattice/cell codesproduction diffusion codesdiffusion theory limitationsdiscontinuity factorsnodal methods

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (15)

Bu denklemi çalıştır: İki Gruplu Kritik Reaktör Çözücüsü →

Enerjiye Bağlı Nötron Difüzyon Denklemi

(7.1)

\frac{1}{v}\frac{\partial \phi}{\partial t} - \nabla\!\cdot\! D(\mathbf{r},E)\nabla\phi(\mathbf{r},E,t) + \Sigma_t(\mathbf{r},E)\,\phi(\mathbf{r},E,t) = \int_0^\infty\! dE'\,\Sigma_s(E'\!\to\! E)\,\phi(\mathbf{r},E',t) + \chi(E)\!\int_0^\infty\! dE'\,\nu\Sigma_f(E')\,\phi(\mathbf{r},E',t)

sembolanlambirim

\phi(\mathbf{r},E,t)

enerjiye bağlı skaler akın·cm⁻²·s⁻¹·eV⁻¹

D(\mathbf{r},E)

difüzyon katsayısıcm

\Sigma_t

toplam makroskopik tesir kesiticm⁻¹

\Sigma_s(E'\!\to\! E)

diferansiyel saçılma tesir kesiticm⁻¹·eV⁻¹

\chi(E)

fisyon yayılma spektrumueV⁻¹

\nu\Sigma_f

nötron üretim tesir kesiticm⁻¹

v

nötron hızıcm·s⁻¹

Grup Akısı Tanımı

(7.2)

\phi_g(\mathbf{r},t) \equiv \int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\; \phi(\mathbf{r},E,t), \qquad g = 1,2,\dots,G

sembolanlambirim

\phi_g

g grubu skaler akısın·cm⁻²·s⁻¹

E_g

g grubunun alt enerji sınırıeV

G

toplam enerji grubu sayısı–

Çok Gruplu Difüzyon Denklemleri

(7.3)

-\nabla\!\cdot\! D_g\nabla\phi_g + \Sigma_{tg}\,\phi_g = \sum_{g'=1}^{G}\Sigma_{s,g'\to g}\,\phi_{g'} + \frac{\chi_g}{k}\sum_{g'=1}^{G}\nu\Sigma_{fg'}\,\phi_{g'}

sembolanlambirim

D_g

g grubu difüzyon katsayısıcm

\Sigma_{tg}

g grubu toplam tesir kesiticm⁻¹

\Sigma_{s,g'\to g}

g'→g saçılma transfer tesir kesiticm⁻¹

\chi_g

g grubunda doğan fisyon nötronlarının kesri–

\nu\Sigma_{fg'}

g' grubu fisyon üretim tesir kesiticm⁻¹

k

çoğaltma özdeğeri–

Akı Ağırlıklı Grup Sabitleri

(7.4)

\Sigma_{xg}(\mathbf{r}) = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\,\Sigma_x(\mathbf{r},E)\,\phi(\mathbf{r},E)}{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\,\phi(\mathbf{r},E)}

sembolanlambirim

\Sigma_{xg}

x tipi g grubu ortalama tesir kesiticm⁻¹

\Sigma_x(\mathbf{r},E)

sürekli enerjili tesir kesiticm⁻¹

Grup Difüzyon Katsayısı

(7.5)

D_g = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\, D(E)\,|\nabla\phi(E)|}{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} dE\, |\nabla\phi(E)|} \;\approx\; \frac{1}{3\,\Sigma_{tr,g}}

sembolanlambirim

D_g

grup difüzyon katsayısıcm

\Sigma_{tr,g}

grup transport tesir kesiticm⁻¹

Uzaklaştırma Tesir Kesiti

(7.6)

\Sigma_{Rg} = \Sigma_{tg} - \Sigma_{s,g\to g} = \Sigma_{ag} + \sum_{g'\neq g}\Sigma_{s,g\to g'}

sembolanlambirim

\Sigma_{Rg}

g grubu uzaklaştırma tesir kesiticm⁻¹

\Sigma_{ag}

g grubu soğurma tesir kesiticm⁻¹

Matris Özdeğer (Kritiklik) Formu

(7.7)

\mathbf{M}\,\boldsymbol{\phi} = \frac{1}{k}\,\mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}

sembolanlambirim

\mathbf{M}

kayıp / göç operatörü (matris)–

\mathbf{F}

fisyon üretim operatörü (matris)–

\boldsymbol{\phi}

grup akı vektörün·cm⁻²·s⁻¹

Güç (Kaynak) İterasyonu

(7.8)

\boldsymbol{\phi}^{(n+1)} = \frac{1}{k^{(n)}}\,\mathbf{M}^{-1}\mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}^{(n)}, \qquad k^{(n+1)} = k^{(n)}\,\frac{\langle \mathbf{F}\boldsymbol{\phi}^{(n+1)}\rangle}{\langle \mathbf{F}\boldsymbol{\phi}^{(n)}\rangle}

sembolanlambirim

\boldsymbol{\phi}^{(n)}

n dış iterasyonunda akı tahminin·cm⁻²·s⁻¹

k^{(n)}

n iterasyonunda özdeğer tahmini–

\langle\cdot\rangle

tüm uzay ve gruplar üzerinde integral–

Sonlu Fark Ayrıklaştırması (1B, grup g)

(7.9)

-\frac{D_{g,i+1/2}(\phi_{g,i+1}-\phi_{g,i}) - D_{g,i-1/2}(\phi_{g,i}-\phi_{g,i-1})}{\Delta x^2} + \Sigma_{Rg,i}\,\phi_{g,i} = S_{g,i}

sembolanlambirim

\phi_{g,i}

i ağ noktasında g grubu akısın·cm⁻²·s⁻¹

\Delta x

ağ aralığıcm

D_{g,i\pm 1/2}

arayüz (harmonik ortalamalı) difüzyon katsayısıcm

S_{g,i}

i noktasında toplam giriş kaynağın·cm⁻³·s⁻¹

Ardışık Aşırı-Gevşeme (SOR) İç Taraması

(7.10)

\phi_i^{(m+1)} = (1-\omega)\,\phi_i^{(m)} + \frac{\omega}{a_{ii}}\Big(S_i - \sum_{j<i} a_{ij}\phi_j^{(m+1)} - \sum_{j>i} a_{ij}\phi_j^{(m)}\Big)

sembolanlambirim

\omega

gevşeme faktörü (1<ω<2)–

a_{ij}

sonlu fark matris katsayısı–

m

iç iterasyon indeksi–

İki Gruplu Difüzyon Denklemleri (yukarı-saçılma yok)

(7.11)

\begin{aligned} -D_1\nabla^2\phi_1 + (\Sigma_{a1}+\Sigma_{s,1\to 2})\phi_1 &= \tfrac{1}{k}\big(\nu\Sigma_{f1}\phi_1 + \nu\Sigma_{f2}\phi_2\big) \\ -D_2\nabla^2\phi_2 + \Sigma_{a2}\,\phi_2 &= \Sigma_{s,1\to 2}\,\phi_1 \end{aligned}

sembolanlambirim

\phi_1,\phi_2

hızlı ve termal grup akıların·cm⁻²·s⁻¹

\Sigma_{s,1\to 2}

hızlıdan termale saçılma (yavaşlama) tesir kesiticm⁻¹

Çok Gruplu Eşlenik Özdeğer Problemi

(7.12)

\mathbf{M}^{\dagger}\,\boldsymbol{\phi}^{\dagger} = \frac{1}{k}\,\mathbf{F}^{\dagger}\,\boldsymbol{\phi}^{\dagger}

sembolanlambirim

\boldsymbol{\phi}^{\dagger}

eşlenik (önem) akı vektörü–

\mathbf{M}^{\dagger},\mathbf{F}^{\dagger}

eşlenik kayıp ve fisyon operatörleri–

Birinci Mertebe Pertürbasyon Reaktivitesi

(7.13)

\Delta\rho \approx \frac{\big\langle \boldsymbol{\phi}^{\dagger},\,\big(\tfrac{1}{k}\delta\mathbf{F} - \delta\mathbf{M}\big)\boldsymbol{\phi}\big\rangle}{\big\langle \boldsymbol{\phi}^{\dagger},\,\tfrac{1}{k}\mathbf{F}\boldsymbol{\phi}\big\rangle}

sembolanlambirim

\Delta\rho

reaktivite değişimi–

\delta\mathbf{M},\delta\mathbf{F}

kayıp ve fisyon operatörlerinin pertürbasyonları–

Grup Daraltma (Yoğunlaştırma)

(7.14)

\Sigma_x^{\,G} = \frac{\displaystyle\sum_{g\in G}\Sigma_{xg}\,\phi_g}{\displaystyle\sum_{g\in G}\phi_g}

sembolanlambirim

\Sigma_x^{\,G}

geniş (daraltılmış) grup tesir kesiticm⁻¹

g\in G

geniş grup G içindeki ince gruplar–

Küresel Nötron Dengesi (Kritiklik Kontrolü)

(7.15)

k_{\mathrm{eff}} = \frac{\displaystyle\int_V d^3r \sum_{g} \chi_g \sum_{g'} \nu\Sigma_{fg'}\phi_{g'}}{\displaystyle\int_V d^3r \sum_{g}\big(\Sigma_{ag}\phi_g + \nabla\!\cdot\! \mathbf{J}_g\big)}

sembolanlambirim

k_{\mathrm{eff}}

etkin çoğaltma faktörü–

\mathbf{J}_g

g grubu net nötron akımı (−D_g∇φ_g)n·cm⁻²·s⁻¹

V

çekirdek hacmicm³

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

İki Gruplu Kritik Reaktör Çözücüsü

GİRDİLER

ÇIKTILAR

k_eff readout with convergence history plot · overlaid fast φ1 and thermal φ2 flux profiles · power (fission) density profile · outer-iteration count and dominance ratio

YÖNTEMFinite-difference spatial discretization (tridiagonal in 1D, block 5-point in 2D) + power (outer) iteration with Gauss-Seidel/SOR inner sweeps; Thomas algorithm for the 1D tridiagonal solve.

Konsola Gir: two-group →

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Çok Gruplu Spektrum ve Grup Daraltma Laboratuvarı

GİRDİLER

number of fine groups (10–238) · number of broad groups (1–8) · moderator/fuel ratio (0.5–8) · buckling B² for leakage (0–0.01 cm⁻²) · fuel enrichment (0.7–20%)

ÇIKTILAR

lethargy-axis flux spectrum (log-log) · fine vs collapsed group-constant bar charts · two-group k_inf comparison · spectral hardening indicator

YÖNTEMSolve the infinite-medium (B² fundamental-mode) multigroup balance for the spectrum, then apply the flux-weighted collapsing formula; compare reaction rates fine vs broad.

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Eşlenik Akı ve Kontrol Çubuğu Değer Haritası

GİRDİLER

absorber strength δΣa (0.001–0.05 cm⁻¹) · absorber position x0 (0–a) · absorber width (1–20 cm) · group of absorption (fast/thermal) · base two-group cross-section set

ÇIKTILAR

forward φ and adjoint φ† overlaid profiles · Δρ (perturbation) vs Δρ (exact) comparison · spatial worth map heatmap · differential worth curve dρ/dx

YÖNTEMForward + adjoint power iteration (M and Mᵀ), then evaluate the first-order reactivity inner product; cross-check by re-solving the perturbed eigenvalue problem.

Sayısal veriler

Typical few-group structure (LWR)2 groups: fast (E>0.625 eV), thermal (E<0.625 eV)0.625 eV, iki gruplu LWR analizinde hızlı ve termali ayıran standart kadmiyum kesim enerjisidir.

Fine-group structures≈47–238 groups (WIMS, SCALE), up to ~10⁴ ultrafineDaraltma ile az gruplu sabitler üretmek için kafes/spektrum kodlarında kullanılır.

Thermal up-scatter threshold≈ below 1–4 eV≈4 eV altında nötronlar ortamın termal hareketinden enerji kazanabilir; bu saçılma matrisini üçgensel olmaktan çıkarır.

Optimal SOR factor (model problem)ω_opt = 2 / (1 + √(1−ρ²))ρ Jacobi spektral yarıçapıdır; ince ağlar için ω_opt tipik olarak 1.7–1.95'tir.

Prompt fission neutrons per fission (U-235, thermal)ν ≈ 2.43νΣ_f grup sabitlerine girer; enerjiye ve izotopa bağlıdır.

Typical LWR k_eff convergence toleranceΔk ≈ 1e-5 to 1e-6, flux ≈ 1e-4 to 1e-5Üretim difüzyon çözümleri için dış/iç iterasyon durdurma ölçütleri.

YAZILIM NOTU

ALGORİTMALAR

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

Pratiğe dökün

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Nükleer Reaktör Kinetiği

Hızlı Spektrum Hesaplamaları ve Hızlı Grup Sabitleri