Ders 8 / 15İleri~40 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Hızlı Spektrum Hesaplamaları ve Hızlı Grup Sabitleri

Bu bölüm, nötron yavaşlamasının fiziğini ve matematiğini geliştirir — hızlı fisyon nötronlarının (~2 MeV) ardışık elastik ve inelastik saçılma çarpışmalarıyla termal enerjilere ulaşana kadar enerji kaybettiği süreci — ve bu anlayışın enerjiye bağlı nötron spektrumunu hesaplamak ve sürekli enerjili tesir kesitlerini çok-gruplu difüzyon teorisinin gerektirdiği az-gruplu sabitlere indirgemek için nasıl kullanıldığını gösterir. Bölüm, kaynak sürülen sonsuz bir ortamda yavaşlama ile başlar; letarji değişkenini, ortalama logaritmik enerji azalımı xi'yi, yavaşlama yoğunluğu q(E)'yi ve saf bir yavaşlatıcıya özgü asimptotik 1/E akı spektrumunu tanıtır. Ardından rezonans soğurmasını ele alır: doğurgan ve fisil çekirdeklerin keskin Breit-Wigner yakalama rezonansları akıyı yerel olarak bastırır (enerji öz-perdelemesi) ve rezonanstan kaçış olasılığı, dar rezonans (NR) ile dar rezonans sonsuz kütle (NRIM/WR) yaklaşımları, etkin rezonans integrali ve sıcaklıkla rezonansları genişleten, reaktör güvenliği için gerekli negatif sıcaklık katsayısını üreten Doppler genişlemesi kullanılarak hesaplanır. Sonlu ortam etkileri, sürekli yavaşlama (Fermi yaşı) modeliyle ele alınır; burada tau yaşı, bir nötronun belirli bir enerjiye yavaşlarken kat ettiği ortalama-karesel kuş-uçuşu mesafesini ilişkilendirir ve yaş denklemine ve sızıntı-düzeltilmiş bir spektruma yol açar. Bölüm, hızlı grup sabitleri için pratik reçete ile zirveye ulaşır: yaklaşık bir ince-yapı spektrumu çözülür (örn. B1 veya temel-mod yöntemiyle ya da GAM/MC^2 kodlarıyla) ve mikroskopik ile makroskopik tesir kesitlerini her grup üzerinden ortalamak için ağırlık fonksiyonu olarak kullanılır. Bu grup sabitleri, reaktör kalbi tasarımını yöneten çok-gruplu difüzyon denklemlerini doğrudan besler.

Sonsuz Ortamda Nötron Yavaşlaması

Fisyonda doğan hızlı nötronlar enerjilerini esas olarak yavaşlatıcı çekirdeklerden elastik saçılma ile kaybeder. Kütle merkezinde izotropik elastik saçılma için, E enerjili bir nötron yalnızca alpha*E ile E arasındaki enerjilere saçılabilir; burada alpha = ((A-1)/(A+1))^2 ve saçılma çekirdeği bu aralıkta enerjide düzdür. Letarji u = ln(E0/E) tanımlanması, çarpışma başına ortalama enerji kaybını sabit, yani ortalama logaritmik enerji azalımı xi'ye eşit yapar. Termalleşme için çarpışma sayısı ln(E0/Eth)/xi ile ölçeklenir; bu nedenle hafif yavaşlatıcılar (düşük A, büyük xi) verimlidir. Yavaşlama yoğunluğu q(E) — nötronların E enerjisini aşağı doğru geçme hızı — bir denge denklemine uyar; yüksek enerjili kaynaklı, soğuramayan saf sonsuz bir yavaşlatıcıda q sabittir ve asimptotik akı phi(E) = q/(xi*Sigma_s*E), karakteristik 1/E spektrumudur. Soğurma bunu yavaşlama dengesi yoluyla değiştirir ve rezonanstan kaçış analizinin temelini oluşturur.

elastic scattering kernellethargyaverage logarithmic energy decrement xicollision parameter alphaslowing down density q(E)1/E asymptotic spectrummoderating powermoderating ratio

Rezonans Soğurması (Sonsuz Ortam)

U-238 ve Th-232 gibi ağır çekirdekler, eV-keV aralığında güçlü, dar Breit-Wigner yakalama rezonansları sergiler. Her rezonans nötron akısını yerel olarak bastırır — enerji öz-perdelemesi — böylece gerçek soğurma, perdelenmemiş bir tahminin öngöreceği değerden daha azdır. Rezonanstan kaçış olasılığı p, nötronların tüm rezonansları yakalanmadan geçme kesridir ve seyreltme (artalan) tesir kesiti sigma_p/N_a ile sıcaklığa bağlı olan etkin rezonans integrali I_eff'ten hesaplanır. İki sınır akı yaklaşımı fiziği çerçeveler: pratik rezonans genişliği yavaşlatıcı çarpışma aralığından küçük olduğunda geçerli olan dar rezonans (NR) yaklaşımı, yavaşlatıcı saçılmasını düz bir 1/E kaynağı olarak ele alır; rezonans, soğurucunun kendi saçılmasına kıyasla geniş olduğunda dar rezonans sonsuz kütle (NRIM veya geniş rezonans WR) yaklaşımı uygulanır. Termal çekirdek hareketinden kaynaklanan Doppler genişlemesi, sıcaklık arttıkça her rezonans tepesini genişletip alçaltır; öz-perdeleme azaldığı için I_eff, T ile artar ve reaktör kararlılığı için merkezi olan ani negatif Doppler (yakıt sıcaklığı) katsayısını üretir.

Breit-Wigner resonanceenergy self-shieldingresonance escape probability peffective resonance integraldilution / background cross sectionnarrow-resonance (NR) approximationNRIM / wide-resonance approximationDoppler broadeningDoppler coefficient

Sonlu Ortamlarda Nötron Yavaşlaması

Sonlu bir reaktörde nötronlar enerjide yavaşlarken uzayda sızar; bu nedenle yavaşlama ve difüzyon birleştir. Sürekli yavaşlama (Fermi yaşı) modeli, enerji kaybını sürekli bir süreç olarak ele alır — xi'nin küçük olduğu ağır yavaşlatıcılar için geçerli — ve bunu P1/difüzyon uzaysal taşınımıyla birleştirir. Fermi yaşı tau(E), bir nötronun doğumu ile E enerjisine yavaşlaması arasında kat ettiği ortalama-karesel kuş-uçuşu mesafesinin altıda biri olarak tanımlandığında, uzay-enerji akısı yaş denklemini sağlar; bu, tau'nun zaman rolü oynadığı difüzyona benzer bir denklemdir. Nokta kaynak için çözümü, genişliği tau ile büyüyen uzayda bir Gauss eğrisidir ve hızlı-nötron göçünün doğrudan bir ölçüsünü verir. Hızlı kaçma-sızıntı olasılığı P_FNL = exp(-B^2 * tau) olarak çıkar; burada B^2 geometrik bucklingdir ve rezonanstan kaçış olasılığı sızıntı dahil edilerek yeniden değerlendirilmelidir. Yaş teorisi, klasik dört/altı-faktör formülünün altında yatar ve kritik reaktör boyutunu belirleyen göç-alanı katkısını M^2 = tau + L^2 sağlar.

continuous slowing down modelFermi age tauage equationGaussian point-source solutionfast non-leakage probabilitygeometric buckling B^2migration area M^2coupled slowing down and diffusion

Hızlı Spektrum Hesaplamaları ve Hızlı Grup Sabitleri

Çok-gruplu difüzyon teorisi grup-ortalamalı tesir kesitleri gerektirir ve doğrulukları, enerji ortalamalarını almak için kullanılan ağırlık spektrumuna bağlıdır. Bu bölüm, yavaşlama, rezonans ve sızıntı fiziğini pratik bir reçete halinde toplar. Önce, yaklaşık ama titiz bir hızlı-spektrum modeli kullanılarak ince bir enerji ağında ayrıntılı bir ince-yapı spektrumu phi(E) hesaplanır — yaygın olarak, sonsuz-ortam yavaşlama denklemine bir sızıntı terimi ekleyen temel-mod B1/B0 yöntemi ile her soğuruya rezonans öz-perdelemesi uygulanır. Sonra her grup sabiti, grup enerji aralığı üzerinde akı-ağırlıklı (ve taşınım için akım-ağırlıklı) bir ortalama olarak tanımlanır: toplam, soğurma, fisyon, taşınım ve saçılma-aktarım tesir kesitleri, ayrıca nu ve fisyon spektrumu chi_g. Öz-perdeleme faktörleri, sonsuz seyreltik tesir kesitlerini gerçek akı bastırması için düzeltir. GAM-II, MUFT ve MC^2 gibi üretim kodları bunu hızlı reaktörler için uygular. Ortaya çıkan az-gruplu sabitler, önceki bölümlerin çok-gruplu difüzyon denklemlerinin tam girdileridir ve mikroskopik nükleer veriden tüm-kalp analizine kadar döngöyü kapatır.

weighting spectrumfundamental-mode B1/B0 methodgroup constant averagingflux and current weightingself-shielding factorfission spectrum chiscattering transfer matrixGAM / MUFT / MC^2 codesfew-group collapse

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (18)

Maksimum Kesirsel Enerji Kaybı Parametresi

(8.1)

\alpha = \left(\frac{A-1}{A+1}\right)^2

Kütle numarası A olan bir çekirdekten elastik saçılma ile ulaşılabilen çarpışma-sonrası minimum enerji alpha*E'yi tanımlar. Yavaşlama çekirdeğinin sınırlarını belirlemek ve yavaşlatıcıları sıralamak için kullanılır.

sembolanlambirim

\alpha

kesirsel minimum-enerji parametresi–

A

saçan çekirdeğin kütle numarası–

Elastik Saçılma Çekirdeği (s-dalga, izotropik KM)

(8.2)

\Sigma_s(E'\to E) = \frac{\Sigma_s(E')}{(1-\alpha)\,E'}, \qquad \alpha E' \le E \le E'

E' enerjisindeki bir nötronun E'ye elastik saçılma birim-enerji başına olasılığı. alpha*E' ile E' arasında düzdür (sabit) ve dışında sıfırdır; bu da letarjiyi yavaşlama için doğal değişken yapar.

sembolanlambirim

\Sigma_s(E'\to E)

diferansiyel saçılma tesir kesiti1/(cm·eV)

\Sigma_s(E')

E'de makroskopik saçılma tesir kesiti1/cm

E'

çarpışma-öncesi nötron enerjisieV

E

çarpışma-sonrası nötron enerjisieV

Ortalama Logaritmik Enerji Azalımı

(8.3)

\xi = 1 + \frac{\alpha}{1-\alpha}\ln\alpha = 1 - \frac{(A-1)^2}{2A}\ln\!\left(\frac{A+1}{A-1}\right)

Elastik çarpışma başına ortalama letarji kazancı (ln(E'/E) ortalaması); s-dalga saçılması için enerjiden bağımsızdır. E0'dan E'ye yavaşlama çarpışma sayısı ln(E0/E)/xi'dir.

sembolanlambirim

\xi

ortalama logaritmik enerji azalımı–

\alpha

çarpışma parametresi ((A-1)/(A+1))^2–

A

yavaşlatıcı çekirdek kütle numarası–

Yavaşlatma Gücü ve Yavaşlatma Oranı

(8.4)

\text{MP} = \xi\,\Sigma_s, \qquad \text{MR} = \frac{\xi\,\Sigma_s}{\Sigma_a}

Yavaşlatma gücü, bir malzemenin nötronları ne kadar hızlı yavaşlattığını ölçer; yavaşlatma oranı ayrıca asalak soğurmayı cezalandırır. Aday yavaşlatıcıları (H2O, D2O, grafit, Be) karşılaştırmak için kullanılır.

sembolanlambirim

\xi\,\Sigma_s

yavaşlatma gücü1/cm

\Sigma_s

makroskopik saçılma tesir kesiti1/cm

\Sigma_a

makroskopik soğurma tesir kesiti1/cm

Yavaşlama Yoğunluğu

(8.5)

q(E) = \int_E^{\infty}\! dE' \int_0^{E}\! dE''\, \Sigma_s(E'\to E'')\,\phi(E')

Nötronların E enerjisini birim hacim başına aşağı geçme hızı. Hızlı kaynaklı, soğuramayan sonsuz ortamda q sabittir; soğurma, enerji düştükçe q'nun azalmasına neden olur.

sembolanlambirim

q(E)

yavaşlama yoğunluğu1/(cm³·s)

\phi(E')

enerjiye bağlı skaler akı1/(cm²·s·eV)

\Sigma_s(E'\to E'')

saçılma aktarım çekirdeği1/(cm·eV)

Asimptotik 1/E Yavaşlama Spektrumu

(8.6)

\phi(E) = \frac{q}{\xi\,\Sigma_s(E)\,E}

Kaynak enerjisinin çok altında, saf (soğuramayan) sonsuz bir yavaşlatıcıdaki denge akısı. Karakteristik 1/E şekli, yavaşlama aralığında hızlı grup sabitlerini ortalamak için standart ağırlık spektrumudur.

sembolanlambirim

\phi(E)

birim enerji başına skaler akı1/(cm²·s·eV)

q

(sabit) yavaşlama yoğunluğu1/(cm³·s)

\xi

ortalama logaritmik enerji azalımı–

\Sigma_s(E)

makroskopik saçılma tesir kesiti1/cm

E

nötron enerjisieV

Letarjide Yavaşlama Dengesi

(8.7)

\big[\Sigma_a(u)+\Sigma_s(u)\big]\phi(u) = \int_{u-\ln(1/\alpha)}^{u}\!\frac{\Sigma_s(u')\,\phi(u')\,e^{-(u-u')}}{1-\alpha}\,du' + S(u)

u = ln(E0/E) letarji değişkeninde yazılan nötron dengesi: solda çarpışma kayıpları, sağda yüksek letarjilerden iç-saçılma artı kaynak. Bu integral denklem, ince-yapı spektrumu için sayısal olarak çözülür.

sembolanlambirim

\phi(u)

birim letarji başına akı1/(cm²·s)

u

letarji ln(E0/E)–

\Sigma_a, \Sigma_s

makroskopik soğurma / saçılma tesir kesitleri1/cm

S(u)

letarjide dış (fisyon) kaynağı1/(cm³·s)

Rezonanstan Kaçış Olasılığı

(8.8)

p = \exp\!\left[-\frac{N_a}{\xi\,\Sigma_s}\int \frac{\sigma_a(E)\,\phi(E)}{\phi_{1/E}(E)}\,\frac{dE}{E}\right] = \exp\!\left(-\frac{N_a\,I_{\mathrm{eff}}}{\xi\,\Sigma_s}\right)

Bir nötronun rezonans bölgesini soğrulmadan geçme olasılığı. Parantez içindeki integral etkin rezonans integrali I_eff'i tanımlar; akı oranı öz-perdelemeyi yakalar. Dört-faktör formülünün merkezindedir.

sembolanlambirim

p

rezonanstan kaçış olasılığı–

N_a

soğuru atom sayı yoğunluğu1/cm³

I_{\mathrm{eff}}

etkin rezonans integralibarn

\sigma_a(E)

mikroskopik soğurma tesir kesitibarn

\xi\Sigma_s

yavaşlatıcı yavaşlatma gücü1/cm

Breit-Wigner Tek-Seviye Rezonansı

(8.9)

\sigma_\gamma(E) = \sigma_0\,\frac{\Gamma_\gamma}{\Gamma}\sqrt{\frac{E_0}{E}}\;\frac{1}{1+\left[\dfrac{2(E-E_0)}{\Gamma}\right]^2}

E0 enerjisindeki yalıtık bir rezonans yakınında ışımsal yakalama tesir kesiti; tepe sigma_0 ve toplam genişlik Gamma ile. Doppler genişlemesinden sonra rezonans integraline giren rezonans şeklini sağlar.

sembolanlambirim

\sigma_\gamma(E)

ışımsal yakalama tesir kesitibarn

\sigma_0

E0'da tepe tesir kesitibarn

\Gamma

toplam rezonans genişliğieV

\Gamma_\gamma

ışımsal (yakalama) kısmi genişlikeV

E_0

rezonans tepe enerjisieV

Doppler-Genişlemiş Rezonans (psi fonksiyonu)

(8.10)

\sigma_\gamma(E,T) = \sigma_0\,\frac{\Gamma_\gamma}{\Gamma}\sqrt{\frac{E_0}{E}}\;\psi(\zeta,x), \qquad \zeta = \frac{\Gamma}{\Delta_D}, \;\; \Delta_D = \sqrt{\frac{4 E_0 k T}{A}}

Hedef çekirdeklerin Maxwell hareketi üzerinden Breit-Wigner formunun ortalanmasıyla elde edilen sıcaklığa bağlı çizgi şekli. Doppler genişliği Delta_D, T ile büyür, tepeyi alçaltıp genişletir; azalan öz-perdeleme I_eff'i yükseltir ve negatif Doppler katsayısını verir.

sembolanlambirim

\psi(\zeta,x)

Doppler genişleme (Voigt) fonksiyonu–

\Delta_D

Doppler genişliğieV

T

mutlak yakıt sıcaklığıK

k

Boltzmann sabitieV/K

A

soğuru kütle numarası–

Dar Rezonans Akısı ve Rezonans İntegrali

(8.11)

\phi(E) = \frac{\sigma_p + \sigma_0\,\sigma_b/\sigma_t(E)}{\sigma_t(E)}\cdot\frac{1}{E}, \qquad I_{\mathrm{eff}} = \int \frac{\sigma_a(E)\,\sigma_b}{\sigma_a(E)+\sigma_b}\,\frac{dE}{E}

NR yaklaşımında akı, toplam tesir kesitiyle ters orantılı olarak bastırılır; burada sigma_b soğuru atom başına seyreltme (artalan) tesir kesitidir. Etkin rezonans integrali böylece seyreltmeye bağlıdır ve öz-perdelemeyi analitik olarak yakalar.

sembolanlambirim

\sigma_b

soğuru atom başına seyreltme / artalan tesir kesitibarn

\sigma_p

potansiyel (düzgün) saçılma tesir kesitibarn

\sigma_t(E)

toplam mikroskopik tesir kesitibarn

\sigma_a(E)

soğuru mikroskopik soğurma tesir kesitibarn

Fermi Yaşı

(8.12)

\tau(E) = \int_E^{E_0}\frac{D(E')}{\xi\,\Sigma_s(E')\,E'}\,dE' = \tfrac{1}{6}\langle r^2 \rangle

Fermi yaşı, bir nötronun kaynak enerjisi E0'dan E'ye yavaşlarken kat ettiği ortalama-karesel kuş-uçuşu mesafesinin altıda birini ölçer. Yaş denkleminde 'zaman' rolü oynar ve hızlı-nötron göçünü nicelendirir.

sembolanlambirim

\tau(E)

E enerjisine kadar Fermi yaşıcm²

D(E')

enerjiye bağlı difüzyon katsayısıcm

\langle r^2 \rangle

ortalama-karesel kuş-uçuşu mesafesicm²

\xi\Sigma_s

yavaşlatma gücü1/cm

Fermi Yaş Denklemi

(8.13)

\nabla^2 q(\mathbf{r},\tau) = \frac{\partial q(\mathbf{r},\tau)}{\partial \tau}

Nötronlar enerji kaybederken yavaşlama yoğunluğunun uzayda nasıl yayıldığını yöneten, Fermi yaşı tau'nun zaman değişkeni rolü oynadığı difüzyona benzer (ısı) denklemi. Sonlu ortamlarda yavaşlamayı uzaysal sızıntıya bağlar.

sembolanlambirim

q(\mathbf{r},\tau)

r konumunda ve tau yaşında yavaşlama yoğunluğu1/(cm³·s)

\tau

Fermi yaşı (zaman-benzeri değişken)cm²

\nabla^2

uzaysal Laplasyen1/cm²

Hızlı Kaçma-Sızıntı Olasılığı

(8.14)

P_{\mathrm{FNL}} = e^{-B^2 \tau_{\mathrm{th}}}, \qquad M^2 = \tau + L^2

Bir hızlı nötronun termale yavaşlarken sızıntıya kaybedilmeme olasılığı; yaş denkleminin Gauss nokta-kaynak çözümünden gelir. Göç alanı M^2, hızlı (yaş) ve termal (difüzyon) göçü birleştirir ve kritik boyutu belirler.

sembolanlambirim

P_{\mathrm{FNL}}

hızlı kaçma-sızıntı olasılığı–

B^2

geometrik buckling1/cm²

\tau_{\mathrm{th}}

termal enerjiye kadar Fermi yaşıcm²

L^2

termal difüzyon alanıcm²

M^2

göç alanıcm²

Grup Sabiti (Akı-Ağırlıklı Ortalama)

(8.15)

\Sigma_{x,g} = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} \Sigma_x(E)\,\phi(E)\,dE}{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} \phi(E)\,dE}

x türünden (toplam, soğurma, fisyon, ...) bir çok-grup sabitinin, g grubu üzerinde sürekli tesir kesitinin spektrum-ağırlıklı ortalaması olarak tanımı. phi(E)'nin (örn. yavaşlama / B1 spektrumu) seçimi, doğru az-grup sabitlerinin can alıcı noktasıdır.

sembolanlambirim

\Sigma_{x,g}

x reaksiyonunun g grubu sabiti1/cm

\Sigma_x(E)

sürekli-enerji makroskopik tesir kesiti1/cm

\phi(E)

ağırlık (ince-yapı) spektrumu1/(cm²·s·eV)

E_g, E_{g-1}

alt/üst grup enerji sınırlarıeV

Akım-Ağırlıklı Taşınım / Difüzyon Sabiti

(8.16)

D_g = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} \frac{1}{3\,\Sigma_{tr}(E)}\,J(E)\,dE}{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} J(E)\,dE}, \qquad \Sigma_{tr} = \Sigma_t - \bar{\mu}_0\,\Sigma_s

Grup difüzyon katsayısı, skaler akı yerine (P1/B1 denklemlerinden gelen) nötron akımı spektrumu J(E) kullanılarak ortalanır; çünkü sızıntı akımla yönetilir. Taşınım tesir kesiti, ortalama kosinüs aracılığıyla anizotropik saçılmayı düzeltir.

sembolanlambirim

D_g

grup difüzyon katsayısıcm

\Sigma_{tr}(E)

taşınım tesir kesiti1/cm

J(E)

nötron akımı spektrumu1/(cm²·s·eV)

\bar{\mu}_0

ortalama saçılma kosinüsü ≈ 2/(3A)–

Gruptan-Gruba Saçılma Aktarımı

(8.17)

\Sigma_{s,\,g'\to g} = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}}\!dE \int_{E_{g'}}^{E_{g'-1}}\!dE'\, \Sigma_s(E'\to E)\,\phi(E')}{\displaystyle\int_{E_{g'}}^{E_{g'-1}} \phi(E')\,dE'}

Çok-gruplu difüzyonda enerji gruplarını birbirine bağlayan aşağı-saçılma (ve grup-içi) matris elemanlarını tanımlar. Elastik/inelastik çekirdek ve ağırlık spektrumundan doğrudan kurulur.

sembolanlambirim

\Sigma_{s,\,g'\to g}

g' grubundan g grubuna saçılma1/cm

\Sigma_s(E'\to E)

diferansiyel saçılma çekirdeği1/(cm·eV)

\phi(E')

ağırlık spektrumu1/(cm²·s·eV)

B1 Temel-Mod Spektrum Denklemi

(8.18)

\Sigma_t(E)\,\phi(E) + i B\,J(E) = \int \Sigma_{s0}(E'\to E)\,\phi(E')\,dE' + \chi(E)\,Q

Temel-mod (B1/B0) yavaşlama denklemi, sonsuz-ortam dengesine buckling B ve akım J(E) ile orantılı bir sızıntı terimi ekler. İnce bir ağda çözülerek, GAM ve MC^2 gibi kodlarda hızlı grup sabitleri üretmek için kullanılan sızıntı-düzeltilmiş ağırlık spektrumunu verir.

sembolanlambirim

\phi(E)

ince-yapı skaler akısı1/(cm²·s·eV)

J(E)

nötron akımı spektrumu1/(cm²·s·eV)

B

geometrik buckling (mod parametresi)1/cm

\chi(E)

fisyon spektrumu1/eV

Q

fisyon kaynak şiddeti1/(cm³·s)

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Her fisyon, yeni fisyonları tetikleyebilecek nötronlar salar. Çoğaltma faktörü popülasyonun büyüyeceğini, sabit mi kalacağını yoksa söneceğini mi belirler. Kontrol çubuklarını sokup çıkarmak için kaydırıcıyı sürükleyin ve nötron popülasyonunun tepkisini izleyin.

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Yavaşlama Spektrumu Kaşifi

Öğrenci bir yavaşlatıcı ve bir soğuru yüklemesi seçer, ardından kararlı-durum yavaşlama akısı phi(u)'nun letarji boyunca oluşmasını izler. Asimptotik 1/E (letarjide düz) bölgenin ortaya çıkışını, ~2 MeV yakınındaki kaynak tümseğini ve rezonansların açtığı çukurları görür; canlı bir okuma xi, termale-çarpışma ve yavaşlama yoğunluğu q(u)'yu gösterir.

GİRDİLER

Moderator selector (H2O, D2O, graphite, Be — sets xi, Sigma_s) · Absorber number density N_a (1e18–1e22 atoms/cm³) · Source energy E0 (0.1–10 MeV) · Lethargy mesh resolution (100–5000 points)

ÇIKTILAR

phi(u) vs lethargy plot with 1/E reference overlay · Slowing down density q(u) curve · Readouts: xi, moderating ratio, collisions to thermal, resonance escape p

YÖNTEMDiscretize the lethargy slowing down balance equation on a uniform u-mesh and solve the resulting lower-triangular system by direct forward substitution (group-by-group sweep from high to low energy), with the flat elastic kernel evaluated analytically.

KOD KANCASIÖğrenci, Rust/WASM'da iç-saçılma integral çekirdek fonksiyonu scatter_source(u, phi[])'yi uygular; kodu çekirdek şeklini ve dolayısıyla ekranda çizilen spektrumu belirler — yanlış bir üst sınır (u - ln(1/alpha)) eğriyi anında bozar.

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Doppler Genişlemesi ve Rezonanstan Kaçış Laboratuvarı

Öğrenci yakıtı ısıtır ve bir Breit-Wigner rezonansının gerçek zamanlı genişleyip düzleştiğini, öz-perdelenmiş akı çukurunun gevşediğini ve etkin rezonans integrali I_eff ile rezonanstan kaçış olasılığı p'nin güncellendiğini görür — negatif Doppler sıcaklık katsayısını doğrudan görselleştirir.

GİRDİLER

Fuel temperature T (300–2400 K) · Resonance peak energy E0 and widths Gamma_gamma, Gamma_n (eV) · Dilution / background cross section sigma_b (10–10000 barn) · Approximation toggle: NR vs NRIM/WR

ÇIKTILAR

sigma(E) curves at multiple temperatures (Doppler family) · Self-shielded flux phi(E) near the resonance · Live I_eff(T) and p(T) plus computed Doppler coefficient dp/dT

YÖNTEMEvaluate the Doppler psi/chi (Voigt) line-shape functions by numerical convolution of the Breit-Wigner shape with a Maxwellian, compute the NR/NRIM flux, and integrate I_eff with adaptive Simpson quadrature over the resonance interval.

KOD KANCASIÖğrenci, Doppler-genişlemiş tesir kesitini döndüren line_shape(E, T) fonksiyonunu yazar; platform bunu I_eff integraline ve spektrum grafiğine besler, böylece öğrencinin genişleme modeli ekranda görünen sıcaklık katsayısını birebir kontrol eder.

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Fermi Yaşı Göç Görselleştiricisi

Hızlı bir nokta kaynaktan başlayarak, öğrenci nötronlar enerji kaybettikçe yavaşlama yoğunluğunun uzayda yayılmasını, Fermi yaşı arttıkça Gauss bulutunun genişlemesini izler. Termaldeki tau'yu, göç alanını ve seçilen bir kalp boyutu için ortaya çıkan hızlı kaçma-sızıntı olasılığını okur.

GİRDİLER

Moderator (sets D(E) and tau-energy relation) · Core dimension / buckling B^2 (slab, sphere, cylinder) · Number of energy steps in the age march (10–500)

ÇIKTILAR

Animated 2D/3D heat-map of q(r, tau) spreading with energy · tau(E) curve and migration area M^2 readout · P_FNL vs core size curve

YÖNTEMSolve the Fermi age equation (a parabolic diffusion equation in tau) by an explicit/Crank-Nicolson finite-difference march in the age variable on a spatial grid, treating tau as the time-like coordinate.

KOD KANCASIÖğrenci yaş-yürüyüşü güncelleme adımı q_next = advance(q, dtau, dx)'i uygular; kararlı bir şema düzgün yayılen bir Gauss verir, kararsız bir adım bulutun patlamasına yol açar — nötron göçünün yanında CFL-tarzı kararlılığı öğretir.

Sayısal veriler

xi for hydrogen (H-1)1.000Hidrojen çarpışma başına ortalama olarak tüm letarjiyi kaybeder (alpha=0); çarpışma başına en iyi yavaşlatıcı.

xi for deuterium (D-2)0.725Ağır su yavaşlatıcısı; H2O'dan düşük soğurma çok daha büyük yavaşlatma oranı verir.

xi for carbon (graphite, A=12)0.1582 MeV'den termalleşmek için ~91 çarpışma gerektirir (ln(E0/Eth)/xi); büyük kalp boyutları.

Collisions to thermalize in H2O≈ 18Hafif suyun etkin xi'si kullanılarak ~2 MeV'den ~0.025 eV'ye; kompakt kalpler.

U-238 lowest resonance E06.67 eVBaskın yakalama rezonansı; birkaç diğeriyle birlikte termal reaktörlerde rezonanstan kaçış olasılığını kontrol eder.

U-238 effective resonance integral (infinitely dilute)≈ 280 barnTipik yakıt derişimlerinde öz-perdeleme ile ~9-25 barn'a keskin biçimde düşer.

Fermi age to thermal in graphite≈ 350 cm²Büyük yaş, önemli hızlı sızıntı demektir; grafit yavaşlatıcılı reaktörlerin özelliği.

Fermi age to thermal in H2O≈ 27 cm²Küçük yaş, hafif suda hızlı yavaşlamayı ve kısa hızlı-nötron göçünü yansıtır.

Typical fast reactor group count≈ 26 groups (e.g., ABBN set)Hızlı spektrum kodları (MC^2) tasarım için noktasal veriyi yaygın olarak ~26 geniş gruba indirger.

YAZILIM NOTU

Bu bölüm, öğrencilerin ham nükleer veriyi bir reaktör simülatörünü yöneten sayılara çevirmeyi öğrendiği yerdir. Yavaşlama dengesini, aşağı-saçılmanın nedensel yapısından yararlanarak alt-üçgensel bir doğrusal çözüm (letarji ağı üzerinde ileri yerine koyma) olarak uygularlar. Elastik saçılma çekirdeğini, letarji dönüşümünü ve asimptotik spektrum için yinelemeyi kodlarlar. Rezonanslar için Doppler çizgi-şekli fonksiyonlarını (psi/chi Voigt integrallerini sayısal evrişim veya rasyonel yaklaşımlarla) uygular ve NR ile NRIM öz-perdeleme modelleri dahil olmak üzere etkin rezonans integralini uyarlanabilir kuadratür ile hesaplarlar. Sonlu ortamlar için Fermi yaş denklemini sonlu-fark (Crank-Nicolson) şemasıyla yürütür, sayısal kararlılığı öğrenirler. Son olarak grup-sabiti indirgemesini uygularlar: spektrum-ağırlıklı ve akım-ağırlıklı ortalamalar, öz-perdeleme faktörleri ve saçılma aktarım matrisinin kurulumu. Bunlar gerçek üretim kodlarına doğrudan karşılık gelir — GAM-II, MUFT, MC^2, NJOY (ENDF verisi işlemek için) ve B1/temel-mod çözücüler — ki bunlar WIMS, CASMO ve kalp kodlarının kullandığı çok-gruplu kütüphaneleri üretir. Öğrenciler, simülasyon doğruluğunun yalnızca tesir-kesiti veritabanıyla değil ağırlık spektrumuyla belirlendiğini öğrenir ve güvenilir az-grup sabitleri üretmede en önemli etki olarak rezonans öz-perdelemesinin çalışma düzeyinde takdirini kazanır.

ALGORİTMALAR

Lethargy slowing down balance via forward-substitution (lower-triangular solve)Elastic scattering kernel evaluationDoppler broadening (psi/chi Voigt function) by numerical convolutionEffective resonance integral via adaptive Simpson quadratureNR and NRIM/WR self-shielding flux modelsFermi age equation by Crank-Nicolson finite differencesB1/B0 fundamental-mode spectrum solveGroup-constant collapsing (flux- and current-weighted averaging)

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

İlgili simülasyon

Öğrenciler basamak, rampa, sinüzoidal veya darbe reaktivitesi ekler ve reaktör gücü ile altı öncül konsantrasyonunun gerçek zamanlı evrimini izler. Prompt sıçramayı, kararlı asimptotik periyodu ve ρ bir dolara (hızlı kritik) yaklaştıkça periyodun dramatik çöküşünü gözlemlerler. Canlı bir gösterge inhour denkleminden periyodu gösterir ve hızlı-kritik koşullarını işaretler.

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Çok Gruplu Difüzyon Yöntemi

Termal Spektrum Hesaplamaları ve Termal Grup Sabitleri

Ders 8 / 15İleri~40 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Hızlı Spektrum Hesaplamaları ve Hızlı Grup Sabitleri

Sonsuz Ortamda Nötron Yavaşlaması

elastic scattering kernellethargyaverage logarithmic energy decrement xicollision parameter alphaslowing down density q(E)1/E asymptotic spectrummoderating powermoderating ratio

Rezonans Soğurması (Sonsuz Ortam)

Sonlu Ortamlarda Nötron Yavaşlaması

continuous slowing down modelFermi age tauage equationGaussian point-source solutionfast non-leakage probabilitygeometric buckling B^2migration area M^2coupled slowing down and diffusion

Hızlı Spektrum Hesaplamaları ve Hızlı Grup Sabitleri

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (18)

Maksimum Kesirsel Enerji Kaybı Parametresi

(8.1)

\alpha = \left(\frac{A-1}{A+1}\right)^2

sembolanlambirim

\alpha

kesirsel minimum-enerji parametresi–

A

saçan çekirdeğin kütle numarası–

Elastik Saçılma Çekirdeği (s-dalga, izotropik KM)

(8.2)

\Sigma_s(E'\to E) = \frac{\Sigma_s(E')}{(1-\alpha)\,E'}, \qquad \alpha E' \le E \le E'

sembolanlambirim

\Sigma_s(E'\to E)

diferansiyel saçılma tesir kesiti1/(cm·eV)

\Sigma_s(E')

E'de makroskopik saçılma tesir kesiti1/cm

E'

çarpışma-öncesi nötron enerjisieV

E

çarpışma-sonrası nötron enerjisieV

Ortalama Logaritmik Enerji Azalımı

(8.3)

\xi = 1 + \frac{\alpha}{1-\alpha}\ln\alpha = 1 - \frac{(A-1)^2}{2A}\ln\!\left(\frac{A+1}{A-1}\right)

Elastik çarpışma başına ortalama letarji kazancı (ln(E'/E) ortalaması); s-dalga saçılması için enerjiden bağımsızdır. E0'dan E'ye yavaşlama çarpışma sayısı ln(E0/E)/xi'dir.

sembolanlambirim

\xi

ortalama logaritmik enerji azalımı–

\alpha

çarpışma parametresi ((A-1)/(A+1))^2–

A

yavaşlatıcı çekirdek kütle numarası–

Yavaşlatma Gücü ve Yavaşlatma Oranı

(8.4)

\text{MP} = \xi\,\Sigma_s, \qquad \text{MR} = \frac{\xi\,\Sigma_s}{\Sigma_a}

sembolanlambirim

\xi\,\Sigma_s

yavaşlatma gücü1/cm

\Sigma_s

makroskopik saçılma tesir kesiti1/cm

\Sigma_a

makroskopik soğurma tesir kesiti1/cm

Yavaşlama Yoğunluğu

(8.5)

q(E) = \int_E^{\infty}\! dE' \int_0^{E}\! dE''\, \Sigma_s(E'\to E'')\,\phi(E')

Nötronların E enerjisini birim hacim başına aşağı geçme hızı. Hızlı kaynaklı, soğuramayan sonsuz ortamda q sabittir; soğurma, enerji düştükçe q'nun azalmasına neden olur.

sembolanlambirim

q(E)

yavaşlama yoğunluğu1/(cm³·s)

\phi(E')

enerjiye bağlı skaler akı1/(cm²·s·eV)

\Sigma_s(E'\to E'')

saçılma aktarım çekirdeği1/(cm·eV)

Asimptotik 1/E Yavaşlama Spektrumu

(8.6)

\phi(E) = \frac{q}{\xi\,\Sigma_s(E)\,E}

sembolanlambirim

\phi(E)

birim enerji başına skaler akı1/(cm²·s·eV)

q

(sabit) yavaşlama yoğunluğu1/(cm³·s)

\xi

ortalama logaritmik enerji azalımı–

\Sigma_s(E)

makroskopik saçılma tesir kesiti1/cm

E

nötron enerjisieV

Letarjide Yavaşlama Dengesi

(8.7)

\big[\Sigma_a(u)+\Sigma_s(u)\big]\phi(u) = \int_{u-\ln(1/\alpha)}^{u}\!\frac{\Sigma_s(u')\,\phi(u')\,e^{-(u-u')}}{1-\alpha}\,du' + S(u)

sembolanlambirim

\phi(u)

birim letarji başına akı1/(cm²·s)

u

letarji ln(E0/E)–

\Sigma_a, \Sigma_s

makroskopik soğurma / saçılma tesir kesitleri1/cm

S(u)

letarjide dış (fisyon) kaynağı1/(cm³·s)

Rezonanstan Kaçış Olasılığı

(8.8)

p = \exp\!\left[-\frac{N_a}{\xi\,\Sigma_s}\int \frac{\sigma_a(E)\,\phi(E)}{\phi_{1/E}(E)}\,\frac{dE}{E}\right] = \exp\!\left(-\frac{N_a\,I_{\mathrm{eff}}}{\xi\,\Sigma_s}\right)

sembolanlambirim

p

rezonanstan kaçış olasılığı–

N_a

soğuru atom sayı yoğunluğu1/cm³

I_{\mathrm{eff}}

etkin rezonans integralibarn

\sigma_a(E)

mikroskopik soğurma tesir kesitibarn

\xi\Sigma_s

yavaşlatıcı yavaşlatma gücü1/cm

Breit-Wigner Tek-Seviye Rezonansı

(8.9)

\sigma_\gamma(E) = \sigma_0\,\frac{\Gamma_\gamma}{\Gamma}\sqrt{\frac{E_0}{E}}\;\frac{1}{1+\left[\dfrac{2(E-E_0)}{\Gamma}\right]^2}

sembolanlambirim

\sigma_\gamma(E)

ışımsal yakalama tesir kesitibarn

\sigma_0

E0'da tepe tesir kesitibarn

\Gamma

toplam rezonans genişliğieV

\Gamma_\gamma

ışımsal (yakalama) kısmi genişlikeV

E_0

rezonans tepe enerjisieV

Doppler-Genişlemiş Rezonans (psi fonksiyonu)

(8.10)

\sigma_\gamma(E,T) = \sigma_0\,\frac{\Gamma_\gamma}{\Gamma}\sqrt{\frac{E_0}{E}}\;\psi(\zeta,x), \qquad \zeta = \frac{\Gamma}{\Delta_D}, \;\; \Delta_D = \sqrt{\frac{4 E_0 k T}{A}}

sembolanlambirim

\psi(\zeta,x)

Doppler genişleme (Voigt) fonksiyonu–

\Delta_D

Doppler genişliğieV

T

mutlak yakıt sıcaklığıK

k

Boltzmann sabitieV/K

A

soğuru kütle numarası–

Dar Rezonans Akısı ve Rezonans İntegrali

(8.11)

\phi(E) = \frac{\sigma_p + \sigma_0\,\sigma_b/\sigma_t(E)}{\sigma_t(E)}\cdot\frac{1}{E}, \qquad I_{\mathrm{eff}} = \int \frac{\sigma_a(E)\,\sigma_b}{\sigma_a(E)+\sigma_b}\,\frac{dE}{E}

sembolanlambirim

\sigma_b

soğuru atom başına seyreltme / artalan tesir kesitibarn

\sigma_p

potansiyel (düzgün) saçılma tesir kesitibarn

\sigma_t(E)

toplam mikroskopik tesir kesitibarn

\sigma_a(E)

soğuru mikroskopik soğurma tesir kesitibarn

Fermi Yaşı

(8.12)

\tau(E) = \int_E^{E_0}\frac{D(E')}{\xi\,\Sigma_s(E')\,E'}\,dE' = \tfrac{1}{6}\langle r^2 \rangle

sembolanlambirim

\tau(E)

E enerjisine kadar Fermi yaşıcm²

D(E')

enerjiye bağlı difüzyon katsayısıcm

\langle r^2 \rangle

ortalama-karesel kuş-uçuşu mesafesicm²

\xi\Sigma_s

yavaşlatma gücü1/cm

Fermi Yaş Denklemi

(8.13)

\nabla^2 q(\mathbf{r},\tau) = \frac{\partial q(\mathbf{r},\tau)}{\partial \tau}

sembolanlambirim

q(\mathbf{r},\tau)

r konumunda ve tau yaşında yavaşlama yoğunluğu1/(cm³·s)

\tau

Fermi yaşı (zaman-benzeri değişken)cm²

\nabla^2

uzaysal Laplasyen1/cm²

Hızlı Kaçma-Sızıntı Olasılığı

(8.14)

P_{\mathrm{FNL}} = e^{-B^2 \tau_{\mathrm{th}}}, \qquad M^2 = \tau + L^2

sembolanlambirim

P_{\mathrm{FNL}}

hızlı kaçma-sızıntı olasılığı–

B^2

geometrik buckling1/cm²

\tau_{\mathrm{th}}

termal enerjiye kadar Fermi yaşıcm²

L^2

termal difüzyon alanıcm²

M^2

göç alanıcm²

Grup Sabiti (Akı-Ağırlıklı Ortalama)

(8.15)

\Sigma_{x,g} = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} \Sigma_x(E)\,\phi(E)\,dE}{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} \phi(E)\,dE}

sembolanlambirim

\Sigma_{x,g}

x reaksiyonunun g grubu sabiti1/cm

\Sigma_x(E)

sürekli-enerji makroskopik tesir kesiti1/cm

\phi(E)

ağırlık (ince-yapı) spektrumu1/(cm²·s·eV)

E_g, E_{g-1}

alt/üst grup enerji sınırlarıeV

Akım-Ağırlıklı Taşınım / Difüzyon Sabiti

(8.16)

D_g = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} \frac{1}{3\,\Sigma_{tr}(E)}\,J(E)\,dE}{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}} J(E)\,dE}, \qquad \Sigma_{tr} = \Sigma_t - \bar{\mu}_0\,\Sigma_s

sembolanlambirim

D_g

grup difüzyon katsayısıcm

\Sigma_{tr}(E)

taşınım tesir kesiti1/cm

J(E)

nötron akımı spektrumu1/(cm²·s·eV)

\bar{\mu}_0

ortalama saçılma kosinüsü ≈ 2/(3A)–

Gruptan-Gruba Saçılma Aktarımı

(8.17)

\Sigma_{s,\,g'\to g} = \frac{\displaystyle\int_{E_g}^{E_{g-1}}\!dE \int_{E_{g'}}^{E_{g'-1}}\!dE'\, \Sigma_s(E'\to E)\,\phi(E')}{\displaystyle\int_{E_{g'}}^{E_{g'-1}} \phi(E')\,dE'}

sembolanlambirim

\Sigma_{s,\,g'\to g}

g' grubundan g grubuna saçılma1/cm

\Sigma_s(E'\to E)

diferansiyel saçılma çekirdeği1/(cm·eV)

\phi(E')

ağırlık spektrumu1/(cm²·s·eV)

B1 Temel-Mod Spektrum Denklemi

(8.18)

\Sigma_t(E)\,\phi(E) + i B\,J(E) = \int \Sigma_{s0}(E'\to E)\,\phi(E')\,dE' + \chi(E)\,Q

sembolanlambirim

\phi(E)

ince-yapı skaler akısı1/(cm²·s·eV)

J(E)

nötron akımı spektrumu1/(cm²·s·eV)

B

geometrik buckling (mod parametresi)1/cm

\chi(E)

fisyon spektrumu1/eV

Q

fisyon kaynak şiddeti1/(cm³·s)

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.