Ders 13 / 15İleri~39 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Kor Güç Dağılımlarının Hesaplanması

Bir reaktör koru genelindeki fisyon gücünün uzaysal dağılımı, nükleer kor tasarımındaki en önemli tek niceliktir: en yüksek yakıt ve kılıf sıcaklıklarını belirler, termal marjları (çekirdekli kaynamadan ayrılma, merkez hattı erimesi) saptar, yakıt tüketimini ve izotopik evrimi tayin eder ve reaktivite ile kontrol gereksinimlerini yönlendirir. Bölüm 13, gerçekçi ve büyük bir güç reaktöründe bu dağılımı hesaplamak için gereken tüm araçları bir araya getirir. Bölüm, statik çok-gruplu difüzyon özdeğer probleminin tam-kor örgüsü üzerinde pratik çözümüyle başlar; PDQ ve CITATION gibi üretim difüzyon kodlarında kullanılan iç (grup-içi) ve dış (fisyon-kaynağı/güç) iterasyon şemalarını, ardışık aşırı-rahatlatmayı (SOR) ve kaynak ekstrapolasyonunu açıklar. Ardından gerçek kor tasarımının belirleyici özelliğiyle yüzleşir: nötronik, termal-hidrolik ve yakıt tüketimi arasındaki güçlü çift yönlü kuplaj. Soğutucu yoğunluğu ve yakıt sıcaklığı az-gruplu tesir kesitlerine geri besleme yapar (yavaşlatıcı-yoğunluğu ve Doppler geri beslemesi); güç şekli ise yakıtı düzgün olmayan biçimde yakarak tüketim ve fisyon-ürünü zehirlenmesi yoluyla tesir kesitlerini sürekli yeniden biçimlendirir. Bölüm, az-gruplu sabitlerin tüketim, yakıt ve yavaşlatıcı sıcaklığı, çözünür-bor derişimi, kontrol durumu ve boşluk kesri fonksiyonları olarak nasıl parametreleştirildiğini, böylece küresel bir çözücünün bunları anında nasıl ara değerleyebildiğini anlatır. Tam üç boyutlu ince-örgü difüzyon 1976'da aşırı pahalı olduğundan, bölüm 3-B akıyı önceden hesaplanmış 2-B veya 1-B deneme fonksiyonlarının ekseni boyunca değişen karışım katsayılarıyla toplamı olarak yaklaşıklayan akı sentezi yöntemlerini geliştirir ve maliyeti büyük ölçüde düşürür. Son olarak yerel güç tepelenmesini ele alır: termal tasarımcının uyması gereken muhafazakâr yerel sınırlara, hesaplanmış bir ortalama gücü çeviren demet-, çubuk- ve kanal-seviyesi sıcak-nokta ve sıcak-kanal faktörlerini, nükleer tepelenme faktörlerini ve mühendislik belirsizlik faktörlerini inceler. Bu bölüme hâkim olmak, çalışan bir reaktörün uçtan uca nasıl analiz edildiğini öğrenmektir.

Statik Çok-Gruplu Difüzyon Hesaplamaları

Bu kısım, kor tasarımının iş atı olan kararlı-durum, tam-kor çok-gruplu difüzyon özdeğer problemini kurar ve çözer. Sürekli difüzyon denklemleri sonlu-farklar (örgü-merkezli veya örgü-kenarlı) uzaysal ızgara üzerinde ayrıklaştırılır; bu, fisyon ve yukarı-saçılmanın grupları kuple ettiği büyük, seyrek, blok-yapılı bir doğrusal sistem üretir. Problem, çarpan k için bir genelleştirilmiş özdeğer problemi olduğundan, iç içe iterasyonla çözülür: bir dış (güç veya kaynak) iterasyonu fisyon kaynağını ve özdeğeri güncellerken, iç iterasyonlar ortaya çıkan sabit-kaynaklı difüzyon problemini her grup için, tipik olarak satır ardışık aşırı-rahatlatma (SOR) veya değişen-yön yöntemleriyle çözer. Kısım, optimum aşırı-rahatlatma faktörü, Chebyshev/kaynak ekstrapolasyonu, fisyon-kaynağı dengelemesi ve kaba-örgü dengelemesi yoluyla yakınsama hızlandırmasını, ayrıca doğruluğu maliyete karşı dengeleyen pratik örgü-boyutu ve grup-yapısı seçimlerini tartışır. Dönemin üretim kodlarını—PDQ, CITATION, 2DB—tanımlar ve baskınlık oranının yakınsama hızı üzerindeki etkisini açıklar. Çıktı, kritik özdeğer ve az-gruplu akıdır; bunlardan termal ve tüketim analizi için fisyon güç yoğunluğu dağılımı yeniden oluşturulur.

multigroup diffusion equationfinite-difference discretizationeigenvalue (k) problemouter/source iterationinner iterationsuccessive overrelaxation (SOR)source extrapolationcoarse-mesh rebalancedominance ratioPDQCITATION

Termal-Hidrolik, Nötronik ve Yakıt Tüketiminin Etkileşimi

Gerçek kor analizi, nötron fiziğini ısı uzaklaştırmadan ve yakıtın zaman evriminden ayıramaz. Bu kısım, üç fiziği birbirine bağlayan kuple, iteratif şemayı geliştirir: bir çok-gruplu difüzyon hesabı güç dağılımını verir; bir termal-hidrolik hesap bu gücü soğutucu-yoğunluğu, yakıt-sıcaklığı ve kılıf-sıcaklığı alanlarına dönüştürür; bu sıcaklıklar ise tesir kesitleri yoluyla geri besleme yapar (rezonansların Doppler genişlemesi, yavaşlatıcı-yoğunluğu ve spektral etkiler, çözünür-bor değeri). Nötronik/termal-hidrolik döngüsü her an için öz-tutarlı bir kararlı duruma kadar iterasyona tabi tutulur. Çok daha yavaş bir zaman ölçeğinde, yakınsamış güç şekli yakıtı tüketir: ağır-metal izotopları (U-235, U-238, Pu-239, Pu-240, Pu-241) ve fisyon-ürünü zehirleri (Xe-135, Sm-149) Bateman tüketim denklemleri yoluyla evrilir; bunlar akı yarı-statik tutularak tüketim adımları üzerinde integre edilir. Her tüketim adımından sonra tesir kesitleri güncellenir ve kuple nötronik/T-H çözümü tekrarlanır; böylece kor işletme çevrimi boyunca ilerletilir. Kısım, güç tepelenmesinin, termal marjların ve reaktivitenin kor ömrü boyunca sürekli değiştiğini, dolayısıyla tasarımın yalnızca ömür-başında değil tüm çevrim boyunca değerlendirilmesi gerektiğini vurgular.

coupled neutronics/thermal-hydraulicstemperature feedbackDoppler feedbackmoderator-density feedbackfuel depletionBateman equationsburnup stepquasi-static fluxxenon poisoningsoluble boroncore lifetime

Az-Gruplu Sabitlerin Parametreleştirilmesi

Tam-kor difüzyon çözümü, her biri farklı ve sürekli değişen yerel durumda olan binlerce örgü noktasında az-gruplu tesir kesitleri gerektirir. Her noktada ve tüketim adımında pahalı bir kafes/hücre transport hesabını yeniden çalıştırmak imkânsızdır; bu yüzden kısım, parametreleştirme (veya 'tesir-kesiti geri beslemesi') yaklaşımını geliştirir: her demet tipi için homojenleştirilmiş az-gruplu sabitler, bir kafes kodu tarafından yerel koşulların bir ızgarası üzerinde—tüketim, yakıt sıcaklığı, yavaşlatıcı sıcaklığı/yoğunluğu, çözünür-bor derişimi, boşluk kesri ve kontrol-çubuğu durumu—önceden hesaplanır ve tablolar veya uydurulmuş polinom/spline fonksiyonları olarak saklanır. Küresel hesap sırasında çözücü, mevcut termal-hidrolik ve tüketim durumuna karşılık gelen yerel tesir kesitlerini elde etmek için bu fonksiyonları değerlendirir ve geri besleme döngüsünü ucuza kapatır. Kısım, bağımsız durum değişkenlerinin seçimini, uydurmanın yapısını (ayrılabilir faktörlere karşı çok-boyutlu tablolar), mikroskobik veri ve sayı yoğunluklarından (bunlar da tüketime bağlıdır) makroskobik sabitlerin oluşturulmasını ve spektral geçmişin yakalanmasının önemini tartışır. Bu parametreleştirme, kuple, tam-çevrim kor benzetimini işlenebilir kılan pratik köprüdür ve tüm modern nodal kor benzeticilerinin temelini oluşturur.

few-group constantscross-section parameterizationcross-section feedbacklattice/assembly precomputationstate variablespolynomial/table fittingmacroscopic from microscopicspectral historynodal data libraries

Akı Sentezi Yöntemleri

Doğrudan üç boyutlu ince-örgü çok-gruplu difüzyon 1976'da hesaplama açısından aşırı pahalı olduğundan (ve rutin çevrim çalışmaları için hâlâ pahalı olduğundan), bu kısım, yüksek boyutlu bir akıyı küçük bir alt-boyutlu çözüm kümesinden yaklaşıklamak için akı sentezini (sentez veya modal-açılım yöntemi olarak da bilinir) geliştirir. 3-B akı, önceden hesaplanmış deneme (açılım) fonksiyonlarının—tipik olarak birkaç karakteristik eksenel yükseklikte hesaplanan 2-B radyal-düzlem akıları—bilinmeyen bir boyutlu eksenel karışım katsayılarıyla çarpımının toplamı olarak yazılır. Bu deneme açılımı difüzyon denklemine yerleştirip ağırlıklı-artık (Galerkin veya varyasyonel) izdüşümü uygulamak, tam 3-B problemini karışım fonksiyonları için küçük, kuple bir 1-B denklem kümesine indirger; bunu çözmek ucuzdur. Kısım, tek-kanal sentezi, çok-kanal sentezi ve spektral (enerji) sentezini ayırt eder; deneme fonksiyonlarının beklenen akı davranışını (kontrol-çubuğu-içeride ve çubuk-dışarıda düzlemleri) kapsayacak biçimde nasıl seçildiğini tartışır ve gerçek akı deneme kümesinin açılımının dışına düştüğünde oluşan hatayı analiz eder. Akı sentezi, tüm bir korun 3-B güç dağılımlarına ulaşmanın pratik yoluydu ve modern modal ve nodal-açılım yöntemlerinin kavramsal atasıdır.

flux synthesistrial/expansion functionsaxial mixing coefficientsweighted residualGalerkin/variational projectionsingle-channel synthesismultichannel synthesisspectral synthesismodal expansion3-D from 2-D

Yerel Güç-Tepelenme Etkileri

Küresel difüzyon çözümü düzgün, demet-ortalamalı bir güç şekli verir; ancak termal tasarımcı, en sıcak kanaldaki tek en sıcak yakıt çubuğunu korumak zorundadır. Bu kısım, ortalama kor güç yoğunluğunu bu en kötü-durum yerel değerine bağlayan tepelenme faktörleri zincirini kurar. Toplam nükleer sıcak-kanal (ısı-akısı) faktörü, bir radyal nükleer tepelenme faktörüne (demet-koru oranı), yerel bir çubuk-demet faktörüne (su boşlukları, kontrol çubukları ve yanabilir soğurucular yakınındaki demet-içi akı gradyanları) ve eksenel bir tepelenme faktörüne (eksenel güç şekli) ayrıştırılır. Bunlar, imalat toleranslarını, zenginleştirme ve yoğunluk değişimlerini, yakıt-peleti ve kılıf boyutsal belirsizliklerini ve akış dengesizliğini hesaba katan mühendislik sıcak-kanal faktörleriyle çarpılır. Kısım, yerel tepelenmenin fiziksel kaynaklarını—su boşluklarında ve yansıtıcılarda akı yükselişi, takılı kontrol çubukları altında bastırma ve tüketilmiş demetlere bitişik taze demetlerin çevresindeki güçlü gradyanlar—ve dağılımı düzleştirmek için kor yükleme örüntülerinin, yanabilir zehirlerin ve zenginleştirme bölgelemesinin nasıl kullanıldığını açıklar. Tüm faktörlerin çarpımı, DNB, yakıt-merkez-hattı-erimesi ve doğrusal-ısı-hızı sınırlarının değerlendirildiği tasarım sıcak-nokta ve sıcak-kanal faktörlerini verir.

power-peaking factorhot-channel factorhot-spot factornuclear peaking factorengineering factorradial/axial peakingpin-to-assembly factorDNB / linear heat rateburnable poisonloading patternenrichment zoning

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (15)

Bu denklemi çalıştır: 2-Gruplu Tam-Kor Difüzyon Güç Haritası →

Statik Çok-Gruplu Difüzyon Özdeğer Denklemi

(13.1)

-\nabla \cdot D_g \nabla \phi_g + \Sigma_{rg}\,\phi_g = \sum_{g' \neq g} \Sigma_{s,\,g' \to g}\,\phi_{g'} + \frac{1}{k}\,\chi_g \sum_{g'=1}^{G} \nu \Sigma_{f g'}\,\phi_{g'}

Tam kor üzerinde g grubu için kararlı-durum çok-gruplu nötron-difüzyon dengesi; çarpan k için genelleştirilmiş bir özdeğer problemi olarak yazılır. Sızıntı ve uzaklaştırmayla kayıp, içeri-saçılma artı fisyon kaynağıyla dengelenir. Bu, statik kor hesaplarında dış/iç iterasyonla ayrıklaştırılıp çözülen denklemdir.

sembolanlambirim

\phi_g

g grubundaki skaler nötron akısıcm^-2 s^-1

D_g

g grubunun difüzyon katsayısıcm

\Sigma_{rg}

g grubunun uzaklaştırma tesir kesiti (soğurma + dışarı-saçılma)cm^-1

\Sigma_{s,\,g' \to g}

g' grubundan g grubuna saçılma tesir kesiticm^-1

\chi_g

g grubuna yayılan fisyon spektrumu kesri–

\nu \Sigma_{f g'}

g' grubunda nötron üretim tesir kesiticm^-1

k

etkin çarpan faktörü (özdeğer)–

k ve Fisyon Kaynağı için Dış (Güç) İterasyonu

(13.2)

\mathbf{M}\,\boldsymbol{\phi}^{(n+1)} = \frac{1}{k^{(n)}}\,\mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}^{(n)}, \qquad k^{(n+1)} = k^{(n)}\,\frac{\langle \mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}^{(n+1)}\rangle}{\langle \mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}^{(n)}\rangle}

Küresel özdeğer çözümünü yürüten güç (kaynak) iterasyonu. M, göç/kayıp-artı-saçılma operatörü; F ise fisyon-üretim operatörüdür. Her dış iterasyon, yeni akı için sabit-kaynaklı bir difüzyon problemini (iç iterasyonlar) çözer, ardından toplam fisyon kaynaklarının oranından k'yı günceller. Yakınsama hızı baskınlık oranıyla belirlenir.

sembolanlambirim

\mathbf{M}

göç + uzaklaştırma − saçılma operatörü–

\mathbf{F}

fisyon-üretim operatörü–

\boldsymbol{\phi}^{(n)}

n dış iterasyonundaki grup-akı vektörücm^-2 s^-1

k^{(n)}

n iterasyonundaki özdeğer tahmini–

Ardışık Aşırı-Rahatlatma (SOR) İç İterasyonu

(13.3)

\phi_i^{(m+1)} = (1-\omega)\,\phi_i^{(m)} + \frac{\omega}{a_{ii}}\left( s_i - \sum_{j<i} a_{ij}\,\phi_j^{(m+1)} - \sum_{j>i} a_{ij}\,\phi_j^{(m)} \right)

Her örgü noktası i'de grup-içi sabit-kaynaklı doğrusal sistemi çözmek için kullanılan nokta/satır SOR. Rahatlatma faktörü omega (1 < omega < 2) Gauss–Seidel taramasını hızlandırır; iterasyon matrisinin spektral yarıçapına bağlı optimum bir omega, üretim difüzyon kodlarında iç iterasyon sayısını en aza indirir.

sembolanlambirim

\phi_i

i örgü noktasındaki akıcm^-2 s^-1

\omega

aşırı-rahatlatma faktörü–

a_{ij}

i ve j noktalarını kupleyen katsayı-matrisi girdisi–

s_i

i noktasındaki kaynak terimi (içeri-saçılma + fisyon)cm^-3 s^-1

Sonlu-Farklar Difüzyon Operatörü (1-B)

(13.4)

\frac{D_{i+1/2}\,(\phi_{i+1}-\phi_i) - D_{i-1/2}\,(\phi_i-\phi_{i-1})}{(\Delta x)^2} - \Sigma_{r,i}\,\phi_i + s_i = 0

Difüzyon teriminin örgü-merkezli sonlu-farklar ayrıklaştırması; malzeme sınırları boyunca nötron akımını korumak için arayüz-ortalamalı (harmonik) difüzyon katsayıları kullanır. Bunu tüm örgü noktaları üzerinde birleştirmek, iç iterasyonda çözülen seyrek üç-köşegenli (1-B) veya blok-bantlı (2-B/3-B) katsayı matrisini verir.

sembolanlambirim

D_{i+1/2}

i ile i+1 noktaları arasındaki arayüz difüzyon katsayısıcm

\Delta x

örgü aralığıcm

\phi_i

i örgü noktasındaki akıcm^-2 s^-1

\Sigma_{r,i}

i noktasındaki uzaklaştırma tesir kesiticm^-1

Fisyon Güç Yoğunluğu

(13.5)

P(\mathbf{r}) = \kappa_f \sum_{g=1}^{G} \Sigma_{f g}(\mathbf{r})\,\phi_g(\mathbf{r})

Yakınsamış çok-gruplu akıyı, termal-hidrolik ve tüketim analizini yürüten yerel termal güç yoğunluğuna dönüştürür. Fisyon başına enerji kappa_f (~200 MeV) ile toplam fisyon reaksiyon hızının çarpımı, kordaki her noktada birim hacim başına ısı-üretim hızını verir.

sembolanlambirim

P(\mathbf{r})

yerel güç yoğunluğuW cm^-3

\kappa_f

fisyon başına geri kazanılabilir enerji (~200 MeV)J

\Sigma_{f g}

g grubunda makroskobik fisyon tesir kesiticm^-1

\phi_g

g grubu akısıcm^-2 s^-1

Ağır-Metal Tüketim (Bateman) Denklemi

(13.6)

\frac{dN_i}{dt} = -\left( \sigma_{a,i}\,\phi + \lambda_i \right) N_i + \sum_{j} \left( \sigma_{c,\,j \to i}\,\phi + \lambda_{j \to i} \right) N_j

Işınlama altında i nüklidinin sayı yoğunluğunun zaman evrimi: soğurma ve bozunmayla kayıp, öncül nüklidler j'nin yakalama/dönüşümü ve bozunmasıyla kazanım. U/Pu zincirine ve fisyon-ürünü zehirlerine uygulanan bu kuple ADD'ler, akı yarı-statik tutularak her tüketim adımı üzerinde integre edilir.

sembolanlambirim

N_i

i nüklidinin sayı yoğunluğucm^-3

\sigma_{a,i}

i nüklidinin mikroskobik soğurma tesir kesiticm^2

\phi

nötron akısı (spektrum-indirgenmiş)cm^-2 s^-1

\lambda_i

i nüklidinin radyoaktif bozunma sabitis^-1

Yakıt Tüketimi (Burnup)

(13.7)

B = \frac{1}{M_{HM}} \int_0^t P(t')\,dt'

Başlangıçtaki ağır metalin birim kütlesi başına çıkarılan kümülatif termal enerji; yakıt tüketiminin standart ölçüsüdür. MWd/tU (veya GWd/tU) cinsinden ifade edilir, tesir-kesiti parametreleştirme tablolarını indeksler ve her bölgenin ömründe ne kadar ilerlediğini izler.

sembolanlambirim

B

tüketim (burnup)MWd kg^-1

M_{HM}

bölgedeki başlangıç ağır-metal kütlesikg

P(t')

bölgenin ürettiği termal güçW

Doppler (Yakıt-Sıcaklığı) Reaktivite Geri Beslemesi

(13.8)

\alpha_D = \frac{\partial \rho}{\partial T_f} \approx -\frac{A}{\sqrt{T_f}}, \qquad \Sigma_{xg} = \Sigma_{xg}\!\left(B,\,T_f,\,T_m,\,\rho_m,\,C_B\right)

Yakıt sıcaklığı yükseldikçe U-238 rezonanslarının Doppler genişlemesinden kaynaklanan ani-etkili negatif geri besleme; ayrıca az-gruplu tesir kesitlerinin yerel duruma bağlı olduğunun genel ifadesi. Bu bağımlılık, nötroniği termal-hidroliğe kupleler ve tesir-kesiti parametreleştirmesiyle yakalanır.

sembolanlambirim

\alpha_D

Doppler sıcaklık reaktivite katsayısıK^-1

T_f

yakıt sıcaklığıK

T_m

yavaşlatıcı sıcaklığıK

\rho_m

yavaşlatıcı/soğutucu yoğunluğug cm^-3

C_B

çözünür-bor derişimippm

Akı Sentezi Deneme Açılımı

(13.9)

\phi_g(x,y,z) \approx \sum_{n=1}^{N} \psi_{g,n}(x,y)\,T_n(z)

3-B grup akısını, bilinmeyen 1-B eksenel karışım fonksiyonları T_n(z) ile ağırlıklandırılmış N önceden hesaplanmış 2-B radyal deneme fonksiyonu psi_n (örn. çubuk-içeride ve çubuk-dışarıda düzlemleri) toplamı olarak yaklaşıklar. Difüzyon denklemine yerleştirip ağırlıklı-artık izdüşümü uygulamak, T_n(z) için küçük, kuple bir 1-B denklem kümesi verir.

sembolanlambirim

\psi_{g,n}

g grubu için n. önceden hesaplanmış 2-B radyal deneme fonksiyonucm^-2 s^-1

T_n(z)

bilinmeyen eksenel karışım/açılım katsayı fonksiyonu–

N

sentezdeki deneme fonksiyonu sayısı–

Sentezin Ağırlıklı-Artık İzdüşümü

(13.10)

\int_{A} W_m(x,y)\,\left[ \mathcal{L}\,\phi_g - \frac{1}{k}\,\mathcal{F}\,\phi_g \right] dA = 0, \quad m = 1,\dots,N

Akı sentezinin Galerkin/varyasyonel kapatması: difüzyon özdeğer denkleminin deneme açılımı için değerlendirilen artığının, radyal düzlem üzerindeki N ağırlık fonksiyonu W_m'ye izdüşürüldüğünde sıfırlanması istenir. Bu, 3-B problemini eksenel karışım fonksiyonları için N kuple 1-B ADD'ye indirger ve yöntemin temel hesaplama kazancını oluşturur.

sembolanlambirim

W_m

m. ağırlık (test) fonksiyonu–

\mathcal{L}

kayıp (sızıntı + uzaklaştırma − saçılma) operatörü–

\mathcal{F}

fisyon-üretim operatörü–

A

radyal kesit düzlemi alanıcm^2

Toplam Nükleer Güç-Tepelenme Faktörü

(13.11)

F_Q^{N} = \frac{P_{max}}{\bar{P}} = F_R \cdot F_Z \cdot F_{local}

Nükleer sıcak-nokta (ısı-akısı) faktörü: en yüksek yerel güç yoğunluğunun kor-ortalama güç yoğunluğuna oranı; radyal (demet-koru), eksenel ve yerel çubuk-demet katkılarına ayrıştırılır. Termal-marj değerlendirmesi için güç-dağılımı hesabının merkezî çıktısıdır.

sembolanlambirim

F_Q^{N}

toplam nükleer ısı-akısı sıcak-nokta faktörü–

P_{max}

en yüksek yerel güç yoğunluğuW cm^-3

\bar{P}

kor-ortalama güç yoğunluğuW cm^-3

F_R

radyal nükleer tepelenme faktörü–

F_Z

eksenel tepelenme faktörü–

F_{local}

yerel çubuk-demet tepelenme faktörü–

Mühendislik Sıcak-Kanal Faktörü (Toplam Isı-Akısı Faktörü)

(13.12)

F_Q = F_Q^{N} \cdot F_Q^{E}, \qquad F_{\Delta H} = F_{\Delta H}^{N} \cdot F_{\Delta H}^{E}

Tasarım sıcak-kanal faktörleri, nükleer (hesaplanmış) tepelenmeyi; imalat toleranslarını, yoğunluk/zenginleştirme değişimlerini ve akış dengesizliğini hesaba katan mühendislik belirsizlik faktörleri F^E ile birleştirir. F_Q ısı-akısı (DNB/merkez-hattı-erimesi) sınırını; F_deltaH entalpi-artışı (kanal) sınırını yönetir.

sembolanlambirim

F_Q

toplam ısı-akısı sıcak-kanal faktörü–

F_Q^{E}

mühendislik ısı-akısı faktörü–

F_{\Delta H}

toplam entalpi-artışı sıcak-kanal faktörü–

F_{\Delta H}^{N}

nükleer entalpi-artışı faktörü–

Doğrusal Isı Üretim Hızı

(13.13)

q'(z) = \frac{P_{pin}}{L} = \pi a^2\,\kappa_f \sum_g \Sigma_{fg}\,\phi_g(z)

Bir yakıt çubuğunun birim uzunluğu başına üretilen güç; yakıt-merkez-hattı erimesini önlemek için doğrudan sınırlanan niceliktir. En sıcak çubuk boyunca tepesi (F_Q ve eksenel şekille belirlenir), nötronik güç dağılımını yakıt-bütünlüğü kısıtına çeviren pratik başarım ölçütüdür.

sembolanlambirim

q'(z)

z yüksekliğindeki doğrusal ısı hızıW cm^-1

P_{pin}

bir yakıt çubuğunun toplam gücüW

a

yakıt-peleti yarıçapıcm

L

aktif yakıt uzunluğucm

Baskınlık Oranı ve İterasyon Yakınsaması

(13.14)

\rho_d = \frac{k_1}{k_0}, \qquad \| \boldsymbol{\phi}^{(n)} - \boldsymbol{\phi} \| \sim \rho_d^{\,n}

İlk altkritik (k_1) özdeğerinin temel (k_0) özdeğere oranı. Güç iterasyonunun ne kadar yavaş yakınsadığını belirler: büyük, gevşek-kuple korlarda bire yakın baskınlık oranları, hızlandırılmamış iterasyonu pratik olmaktan çıkarır ve Chebyshev/kaynak-ekstrapolasyonu ile dengeleme hızlandırmasını gerekli kılar.

sembolanlambirim

\rho_d

baskınlık oranı–

k_0

temel-mod özdeğeri–

k_1

ilk harmonik (altkritik) özdeğer–

Xe-135 Denge Zehirlenmesi

(13.15)

N_{Xe} = \frac{(\gamma_I + \gamma_{Xe})\,\Sigma_f\,\phi}{\lambda_{Xe} + \sigma_{a}^{Xe}\,\phi}

Denge Xe-135 sayı yoğunluğu; güç dağılımını yeniden biçimlendiren baskın fisyon-ürünü zehiridir. Ksenon değeri akıyla doyduğundan, uzaysal dağılımı güç şeklinin kendisine bağlıdır; bu, akı-ksenon kuplajı ve büyük korlarda güç-dağılımı analizinin yakalaması gereken uzaysal ksenon salınımları üretir.

sembolanlambirim

N_{Xe}

Xe-135 sayı yoğunluğucm^-3

\gamma_I,\,\gamma_{Xe}

I-135 ve doğrudan Xe-135 fisyon verimleri–

\lambda_{Xe}

Xe-135 bozunma sabitis^-1

\sigma_{a}^{Xe}

Xe-135 mikroskobik soğurma tesir kesiticm^2

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Her fisyon, yeni fisyonları tetikleyebilecek nötronlar salar. Çoğaltma faktörü popülasyonun büyüyeceğini, sabit mi kalacağını yoksa söneceğini mi belirler. Kontrol çubuklarını sokup çıkarmak için kaydırıcıyı sürükleyin ve nötron popülasyonunun tepkisini izleyin.

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.

Simülasyon tasarımları

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

2-Gruplu Tam-Kor Difüzyon Güç Haritası

Öğrenci, yakıt demetlerinden (farklı zenginleştirme ve tüketimler) oluşan 2-B çeyrek-kor dama tahtası dizer, ardından k_eff ve demet güç haritasını elde etmek için iki-gruplu sonlu-farklar difüzyon özdeğer çözücüsünü çalıştırır. Güç iterasyonunun gerçek zamanlı yakınsamasını izler, fisyon kaynağının temel moda doğru keskinleştiğini görür ve radyal tepelenme faktörünü okur. Zenginleştirme bölgelemesini ayarlamak veya kontrol bantlarını sokmak haritayı canlı yeniden biçimlendirir.

GİRDİLER

Assembly enrichment per zone (1.5-4.5 wt% U-235) · Assembly burnup per zone (0-60 GWd/tU) · Mesh per assembly (1-8) · SOR relaxation factor omega (1.0-1.99) · Control-bank insertion (0-100% inserted) · Convergence tolerance (1e-6 to 1e-3)

ÇIKTILAR

2-D heat-map of assembly power density · Converged k_eff readout · Radial peaking factor F_R · Outer-iteration convergence curve (residual vs iteration) · Fast and thermal flux contour plots

YÖNTEMMesh-centered finite-difference discretization of the 2-group diffusion equations; nested outer power iteration with inner line-SOR; Rayleigh-quotient eigenvalue update; optional Chebyshev source extrapolation.

KOD KANCASIÖğrenci, iç-iterasyon çekirdeğini (örn. SOR taramasını uygular ya da kırmızı-siyah sıralama / Chebyshev hızlandırması ekler) ve bölge başına tesir-kesiti atamasını düzenler; platform çözümü yeniden çalıştırır ve iterasyon sayısının, k_eff'in ve güç haritasının nasıl değiştiğini gösterir.

Konsola Gir: core-power →

SİMÜLASYON TASARIMIYÜKSEK SADAKAT

Kuple Nötronik / Termal-Hidrolik / Tüketim Çevrim Çalışması

Öğrenci, 1-B eksenel bir kor kanalını tam bir işletme çevrimi boyunca ilerletir. Her tüketim adımında difüzyon çözümü eksenel gücü verir, tek-kanal bir termal-hidrolik model soğutucu yoğunluğu ve yakıt sıcaklığı döndürür, tesir kesitleri parametreleştirilmiş bir tablodan ara değerlenir, döngü öz-tutarlılığa kadar iterasyona tabi tutulur ve Bateman denklemleri yakıtı tüketir. Öğrenci, eksenel güç şeklinin, bor azaltımının ve tepelenme faktörünün ömür-başından (BOL) ömür-sonuna (EOL) evrimini izler.

GİRDİLER

Initial enrichment (2-5 wt%) · Coolant inlet temperature (270-300 C) · Mass flow rate (per channel) · Burnup step size (0.5-5 GWd/tU) · Doppler coefficient strength (scaling) · Soluble-boron search on/off

ÇIKTILAR

Axial power shape animated over burnup · k_eff and critical boron vs burnup · Fuel-centerline and coolant temperature profiles · Axial peaking factor F_Z vs cycle time · Isotopic inventory (U-235, Pu-239, Xe-135) vs burnup

YÖNTEMOperator-split coupling: 1-D finite-difference diffusion <-> single-channel energy/continuity T-H <-> table-interpolated cross sections, Picard-iterated to convergence; Bateman ODEs integrated per burnup step by matrix exponential or implicit Euler.

KOD KANCASIÖğrenci, geri-besleme-kuplaj rutinini (Picard döngüsü ve tesir-kesiti ara değerlemesi) veya Bateman integratörünü yazar; platform çevrimi yeniden ilerletir ve yakınsamanın ve çevrim-sonu tüketiminin sayısal seçimlerine nasıl tepki verdiğini gösterir.

SİMÜLASYON TASARIMIORTA SADAKAT

Akı Sentezi: 2-B Düzlemlerden 3-B Güç

Öğrenci, deneme fonksiyonları olarak küçük bir önceden hesaplanmış 2-B radyal akı düzlemi kümesi (çubuk-dışarıda, kısmen-çubuklu, çubuk-içeride) seçer ve sentez çözücüsünün, tam bir 3-B güç dağılımını yeniden oluşturmak için eksenel karışım fonksiyonlarını hesaplamasını sağlar. Sentezlenen 3-B gücü referans ince-örgü 3-B çözümle karşılaştırır, daha çok (ve daha iyi seçilmiş) deneme fonksiyonu eklendikçe hatanın küçüldüğünü görür ve çarpıcı çalışma-süresi tasarrufunu gözlemler.

GİRDİLER

Trial-function set selection (1-4 planes) · Axial node count (10-40) · Control-rod elevation (0-100%) · Weight-function choice (Galerkin vs flux-weighted) · Reference fine-mesh resolution (for comparison)

ÇIKTILAR

Reconstructed 3-D power isosurface / volume render · Axial mixing functions T_n(z) plot · Pointwise error vs reference fine-mesh 3-D solution · Runtime / cost comparison (synthesis vs full 3-D)

YÖNTEMModal expansion of the 3-D flux in precomputed 2-D trial functions; Galerkin weighted-residual projection onto the radial plane reduces the problem to coupled 1-D ODEs for the axial mixing functions, solved by finite differences.

KOD KANCASIÖğrenci, ağırlıklı-artık izdüşümünü (küçük NxN kuple eksenel operatörünü kurar) uygular veya kendi deneme fonksiyonlarını sağlar; platform 3-B alanı sentezler ve referansa karşı hatayı raporlar; böylece deneme tabanının ne zaman yeterli olduğunu öğretir.

Sayısal veriler

Energy per fission (recoverable)~200 MeV (~3.2e-11 J)Fisyon hızını termal güç yoğunluğuna çevirmek için kullanılır.

Typical few-group structure2 groups (PWR) up to ~4 groupsTam-kor difüzyon, hafif su reaktörlerinde rutin olarak 2 enerji grubu (hızlı + termal) kullanır.

Typical optimum SOR factoromega ~1.7-1.95Büyük ince örgülerde iç-iterasyon sayısını en aza indiren aşırı-rahatlatma faktörü.

Typical PWR discharge burnup~30-60 GWd/tUTesir-kesiti parametreleştirme tablolarında tüketim ekseninin üst sınırını belirler.

Xe-135 thermal absorption cross section~2.6e6 barn (2.65 Mb)Devasa tesir kesiti, Xe-135'i baskın fisyon-ürünü zehiri yapar.

Typical PWR total peaking factor F_Q limit~2.3-2.6Temsili teknik-şartname ısı-akısı sıcak-nokta sınırı.

Typical PWR enthalpy-rise factor F_deltaH limit~1.55-1.70DNB marjını yöneten temsili kanal entalpi-artışı sıcak-kanal sınırı.

Typical peak linear heat rate limit~40-45 kW/m (~13 kW/ft)Birim uzunluk başına en yüksek çubuk gücüne ilişkin yakıt-merkez-hattı-erimesi kısıtı.

Era production diffusion codesPDQ, CITATION, 2DB, EXTERMINATORStatik kor hesapları için atıfta bulunulan sonlu-farklar çok-gruplu difüzyon kodları.

YAZILIM NOTU

Bu bölüm, öğrencilerin bir reaktör analiz paketinin çekirdeğini yazmayı öğrendikleri yerdir. Temel beceri, statik çok-gruplu difüzyon özdeğer problemini çözmektir: denklemleri örgü-merkezli sonlu-farklarla ayrıklaştırmak, seyrek katsayı matrislerini kurmak ve iç içe dış (güç/kaynak) ile iç (satır-SOR, kırmızı-siyah Gauss-Seidel veya ADI) iterasyonlarını uygulamak, ardından bunları Chebyshev/kaynak ekstrapolasyonu, Wielandt kaydırması ve kaba-örgü dengelemesiyle hızlandırmak. Öğrenciler özdeğer güncellemesini (Rayleigh bölümü / fisyon-kaynağı oranı) kodlar ve yakınsamayı baskınlık oranı üzerinden teşhis etmeyi öğrenir. İkinci sütun çoklu-fizik kuplajıdır: nötronik çözücüyü tek-kanal termal-hidrolik modele ve tablo-ara-değerli, parametreleştirilmiş az-gruplu tesir kesitlerine bağlayan operatör-ayrık bir Picard döngüsü, artı tüketim boyunca izotopiği ilerleten bir Bateman tüketim integratörü (matris üsteli veya örtük zaman adımlama). Üçüncüsü, akı sentezi yoluyla indirgenmiş-mertebe modellemedir: 3-B alanları ucuza geri kazanmak için deneme-fonksiyonu tabanları ve Galerkin ağırlıklı-artık izdüşümleri kurmak. Bu malzemeyle bağlantılı gerçek kodlar arasında sonlu-farklar difüzyon kodları PDQ, CITATION ve 2DB ile bunların modern nodal torunları (SIMULATE, PARCS, NESTLE) yer alır. Performans-kritik çekirdekler (seyrek çözümler, SOR taramaları, Bateman üstelleri) tarayıcı-içi hız için WebAssembly'ye derlenen Rust ile uygulanır; TypeScript ise kullanıcı arayüzünü, görselleştirmeyi ve öğrenci-düzenlenebilir kod kancalarını yönetir.

ALGORİTMALAR

Finite-difference multigroup diffusion discretizationOuter power/source iterationInner line-SOR / red-black Gauss-SeidelAlternating-direction implicit (ADI)Chebyshev / source extrapolation accelerationCoarse-mesh rebalanceWielandt eigenvalue shiftOperator-split (Picard) multiphysics couplingBateman depletion via matrix exponentialFlux synthesis / Galerkin weighted-residual reduced-order modeling

DİLLER

Rust/WASMTypeScript

Pratiğe dökün

İlgili simülasyonu aç

← Önceki

Nükleer Reaktör Korlarının Termal-Hidrolik Analizi

Reaktivite Kontrolü

Ders 13 / 15İleri~39 dk kaldıDuderstadt & Hamilton (1976)

Kor Güç Dağılımlarının Hesaplanması

Statik Çok-Gruplu Difüzyon Hesaplamaları

Termal-Hidrolik, Nötronik ve Yakıt Tüketiminin Etkileşimi

coupled neutronics/thermal-hydraulicstemperature feedbackDoppler feedbackmoderator-density feedbackfuel depletionBateman equationsburnup stepquasi-static fluxxenon poisoningsoluble boroncore lifetime

Az-Gruplu Sabitlerin Parametreleştirilmesi

Akı Sentezi Yöntemleri

Yerel Güç-Tepelenme Etkileri

Temel ilişki

k<1 → kritik altı (reaksiyon söner) · k=1 → kritik (kararlı) · k>1 → kritik üstü (güç artar). Reaktörler tam k=1'de çalışır ve ince ayar için kontrol çubuklarını kullanır.

Temel Denklemler (15)

Bu denklemi çalıştır: 2-Gruplu Tam-Kor Difüzyon Güç Haritası →

Statik Çok-Gruplu Difüzyon Özdeğer Denklemi

(13.1)

-\nabla \cdot D_g \nabla \phi_g + \Sigma_{rg}\,\phi_g = \sum_{g' \neq g} \Sigma_{s,\,g' \to g}\,\phi_{g'} + \frac{1}{k}\,\chi_g \sum_{g'=1}^{G} \nu \Sigma_{f g'}\,\phi_{g'}

sembolanlambirim

\phi_g

g grubundaki skaler nötron akısıcm^-2 s^-1

D_g

g grubunun difüzyon katsayısıcm

\Sigma_{rg}

g grubunun uzaklaştırma tesir kesiti (soğurma + dışarı-saçılma)cm^-1

\Sigma_{s,\,g' \to g}

g' grubundan g grubuna saçılma tesir kesiticm^-1

\chi_g

g grubuna yayılan fisyon spektrumu kesri–

\nu \Sigma_{f g'}

g' grubunda nötron üretim tesir kesiticm^-1

k

etkin çarpan faktörü (özdeğer)–

k ve Fisyon Kaynağı için Dış (Güç) İterasyonu

(13.2)

\mathbf{M}\,\boldsymbol{\phi}^{(n+1)} = \frac{1}{k^{(n)}}\,\mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}^{(n)}, \qquad k^{(n+1)} = k^{(n)}\,\frac{\langle \mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}^{(n+1)}\rangle}{\langle \mathbf{F}\,\boldsymbol{\phi}^{(n)}\rangle}

sembolanlambirim

\mathbf{M}

göç + uzaklaştırma − saçılma operatörü–

\mathbf{F}

fisyon-üretim operatörü–

\boldsymbol{\phi}^{(n)}

n dış iterasyonundaki grup-akı vektörücm^-2 s^-1

k^{(n)}

n iterasyonundaki özdeğer tahmini–

Ardışık Aşırı-Rahatlatma (SOR) İç İterasyonu

(13.3)

\phi_i^{(m+1)} = (1-\omega)\,\phi_i^{(m)} + \frac{\omega}{a_{ii}}\left( s_i - \sum_{j<i} a_{ij}\,\phi_j^{(m+1)} - \sum_{j>i} a_{ij}\,\phi_j^{(m)} \right)

sembolanlambirim

\phi_i

i örgü noktasındaki akıcm^-2 s^-1

\omega

aşırı-rahatlatma faktörü–

a_{ij}

i ve j noktalarını kupleyen katsayı-matrisi girdisi–

s_i

i noktasındaki kaynak terimi (içeri-saçılma + fisyon)cm^-3 s^-1

Sonlu-Farklar Difüzyon Operatörü (1-B)

(13.4)

\frac{D_{i+1/2}\,(\phi_{i+1}-\phi_i) - D_{i-1/2}\,(\phi_i-\phi_{i-1})}{(\Delta x)^2} - \Sigma_{r,i}\,\phi_i + s_i = 0

sembolanlambirim

D_{i+1/2}

i ile i+1 noktaları arasındaki arayüz difüzyon katsayısıcm

\Delta x

örgü aralığıcm

\phi_i

i örgü noktasındaki akıcm^-2 s^-1

\Sigma_{r,i}

i noktasındaki uzaklaştırma tesir kesiticm^-1

Fisyon Güç Yoğunluğu

(13.5)

P(\mathbf{r}) = \kappa_f \sum_{g=1}^{G} \Sigma_{f g}(\mathbf{r})\,\phi_g(\mathbf{r})

sembolanlambirim

P(\mathbf{r})

yerel güç yoğunluğuW cm^-3

\kappa_f

fisyon başına geri kazanılabilir enerji (~200 MeV)J

\Sigma_{f g}

g grubunda makroskobik fisyon tesir kesiticm^-1

\phi_g

g grubu akısıcm^-2 s^-1

Ağır-Metal Tüketim (Bateman) Denklemi

(13.6)

\frac{dN_i}{dt} = -\left( \sigma_{a,i}\,\phi + \lambda_i \right) N_i + \sum_{j} \left( \sigma_{c,\,j \to i}\,\phi + \lambda_{j \to i} \right) N_j

sembolanlambirim

N_i

i nüklidinin sayı yoğunluğucm^-3

\sigma_{a,i}

i nüklidinin mikroskobik soğurma tesir kesiticm^2

\phi

nötron akısı (spektrum-indirgenmiş)cm^-2 s^-1

\lambda_i

i nüklidinin radyoaktif bozunma sabitis^-1

Yakıt Tüketimi (Burnup)

(13.7)

B = \frac{1}{M_{HM}} \int_0^t P(t')\,dt'

sembolanlambirim

B

tüketim (burnup)MWd kg^-1

M_{HM}

bölgedeki başlangıç ağır-metal kütlesikg

P(t')

bölgenin ürettiği termal güçW

Doppler (Yakıt-Sıcaklığı) Reaktivite Geri Beslemesi

(13.8)

\alpha_D = \frac{\partial \rho}{\partial T_f} \approx -\frac{A}{\sqrt{T_f}}, \qquad \Sigma_{xg} = \Sigma_{xg}\!\left(B,\,T_f,\,T_m,\,\rho_m,\,C_B\right)

sembolanlambirim

\alpha_D

Doppler sıcaklık reaktivite katsayısıK^-1

T_f

yakıt sıcaklığıK

T_m

yavaşlatıcı sıcaklığıK

\rho_m

yavaşlatıcı/soğutucu yoğunluğug cm^-3

C_B

çözünür-bor derişimippm

Akı Sentezi Deneme Açılımı

(13.9)

\phi_g(x,y,z) \approx \sum_{n=1}^{N} \psi_{g,n}(x,y)\,T_n(z)

sembolanlambirim

\psi_{g,n}

g grubu için n. önceden hesaplanmış 2-B radyal deneme fonksiyonucm^-2 s^-1

T_n(z)

bilinmeyen eksenel karışım/açılım katsayı fonksiyonu–

N

sentezdeki deneme fonksiyonu sayısı–

Sentezin Ağırlıklı-Artık İzdüşümü

(13.10)

\int_{A} W_m(x,y)\,\left[ \mathcal{L}\,\phi_g - \frac{1}{k}\,\mathcal{F}\,\phi_g \right] dA = 0, \quad m = 1,\dots,N

sembolanlambirim

W_m

m. ağırlık (test) fonksiyonu–

\mathcal{L}

kayıp (sızıntı + uzaklaştırma − saçılma) operatörü–

\mathcal{F}

fisyon-üretim operatörü–

A

radyal kesit düzlemi alanıcm^2

Toplam Nükleer Güç-Tepelenme Faktörü

(13.11)

F_Q^{N} = \frac{P_{max}}{\bar{P}} = F_R \cdot F_Z \cdot F_{local}

sembolanlambirim

F_Q^{N}

toplam nükleer ısı-akısı sıcak-nokta faktörü–

P_{max}

en yüksek yerel güç yoğunluğuW cm^-3

\bar{P}

kor-ortalama güç yoğunluğuW cm^-3

F_R

radyal nükleer tepelenme faktörü–

F_Z

eksenel tepelenme faktörü–

F_{local}

yerel çubuk-demet tepelenme faktörü–

Mühendislik Sıcak-Kanal Faktörü (Toplam Isı-Akısı Faktörü)

(13.12)

F_Q = F_Q^{N} \cdot F_Q^{E}, \qquad F_{\Delta H} = F_{\Delta H}^{N} \cdot F_{\Delta H}^{E}

sembolanlambirim

F_Q

toplam ısı-akısı sıcak-kanal faktörü–

F_Q^{E}

mühendislik ısı-akısı faktörü–

F_{\Delta H}

toplam entalpi-artışı sıcak-kanal faktörü–

F_{\Delta H}^{N}

nükleer entalpi-artışı faktörü–

Doğrusal Isı Üretim Hızı

(13.13)

q'(z) = \frac{P_{pin}}{L} = \pi a^2\,\kappa_f \sum_g \Sigma_{fg}\,\phi_g(z)

sembolanlambirim

q'(z)

z yüksekliğindeki doğrusal ısı hızıW cm^-1

P_{pin}

bir yakıt çubuğunun toplam gücüW

a

yakıt-peleti yarıçapıcm

L

aktif yakıt uzunluğucm

Baskınlık Oranı ve İterasyon Yakınsaması

(13.14)

\rho_d = \frac{k_1}{k_0}, \qquad \| \boldsymbol{\phi}^{(n)} - \boldsymbol{\phi} \| \sim \rho_d^{\,n}

sembolanlambirim

\rho_d

baskınlık oranı–

k_0

temel-mod özdeğeri–

k_1

ilk harmonik (altkritik) özdeğer–

Xe-135 Denge Zehirlenmesi

(13.15)

N_{Xe} = \frac{(\gamma_I + \gamma_{Xe})\,\Sigma_f\,\phi}{\lambda_{Xe} + \sigma_{a}^{Xe}\,\phi}

sembolanlambirim

N_{Xe}

Xe-135 sayı yoğunluğucm^-3

\gamma_I,\,\gamma_{Xe}

I-135 ve doğrudan Xe-135 fisyon verimleri–

\lambda_{Xe}

Xe-135 bozunma sabitis^-1

\sigma_{a}^{Xe}

Xe-135 mikroskobik soğurma tesir kesiticm^2

Deneyin: zincirleme reaksiyon

Etkileşimli · Nötron çoğalmasıCanlı simülasyon

Kontrol çubuklarık = 1.00Kritik

Diyagramı okuma

Çubukları çekin (sola kaydırın): daha az nötron soğurulur, k 1'in üstüne çıkar, popülasyon büyür — kritik üstü.
Çubukları sokun (sağa kaydırın): çubuklar nötronları yutar, k 1'in altına düşer, zincir söner — kritik altı.
Gerçek santraller k'yı 1.000'e son derece yakın tutar ve kontrolü fiziksel olarak mümkün kılmak için gecikmiş nötronlara dayanır.